Двухступенчатый блок

Обозначим силу натяжения подвеса, на котором закреплён груз \(m_1\), через \(F\) (см. рис. 1.57).

Тогда сила натяжения нити на вертикальных участках по обе стороны от нижнего блока равна \(F/2\) — из-за невесомости этого блока и нити, а также из-за отсутствия трения в оси блока и о воздух. Силу натяжения нити, действующую на подвешенный к ней груз \(m_2\), обозначим через \(f\). Так как двухступенчатый блок невесом и трение в его оси и о воздух отсутствует, то сумма моментов сил натяжения нити, действующих на него, равна нулю: \(\dfrac{F}{2}R = \dfrac{F}{2}r + fR\). Отсюда \(f = \dfrac{R - r}{2R}F\).

Поскольку система из таких блоков не даёт выигрыша в работе, то при смещении нижнего груза на расстояние \(\Delta x_1\), например, вниз, верхний груз сместится на расстояние \(\Delta x_2\) вверх, и будет справедливо соотношение: \(F\Delta x_1 + f\Delta x_2 = 0\). Отсюда, с учётом найденной связи сил \(F\) и \(f\), получаем: \(\Delta x_1 + \dfrac{R - r}{2R}\Delta x_2 = 0\). Таким образом, связь проекций \(a_1\) и \(a_2\) ускорений грузов на вертикальную ось (уравнение кинематической связи) имеет вид: \[a_1 + \dfrac{R - r}{2R}a_2 = 0.\] Запишем уравнения движения грузов в проекциях на ту же ось: \[m_1a_1 = m_1g - F,\quad m_2a_2 = m_2g - f.\] Для решения получившейся системы подставим во второе уравнение выражения для \(a_2\) и \(f\): \[m_1a_1 = m_1g - F,\quad -m_2\dfrac{2Ra_1}{R - r} = m_2g - \dfrac{R - r}{2R}F.\] Умножим второе уравнение на \(-\dfrac{2R}{R - r}\) и сложим результат с первым уравнением. В итоге получим: \[a_1\left(m_1 + m_2\left(\dfrac{2R}{R - r}\right)^2\right) = m_1g - m_2g\cdot\dfrac{2R}{R - r}.\] Отсюда \[a_1 = \dfrac{m_1 - m_2\cdot\dfrac{2R}{R - r}}{m_1 + m_2\left(\dfrac{2R}{R - r}\right)^2}\cdot g = \dfrac{\bigl(m_1(R - r) - 2m_2R\bigr)\cdot(R - r)}{m_1(R - r)^2 + 4m_2R^2}\,g.\]