Нить и проволочный кусочек

Изобразим на рисунке нить в тот момент времени, когда она ещё не порвалась, но вот-вот порвётся. Пусть в этот момент расстояние от проволочного грузика до линии, вдоль которой перемещаются концы нити, равно \(x\), а скорость грузика равна \(u\).

Так как нить нерастяжима, то проекция скорости грузика и проекция скорости конца нити на направление нити должны быть одинаковы. Следовательно, \[V\cos\alpha = u\sin\alpha,\quad\text{то есть}\quad u = V\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{V\sqrt{(L/2)^2 - x^2}}{x}.\] Из условия задачи видно, что \(F \gg Mg\). Поэтому угол, который составляют две половинки нити в момент перед разрывом, близок к \(180^\circ\), а угол \(\alpha\) мал. Это означает, что \(x^2 \ll (L/2)^2\), то есть \(u \approx \dfrac{VL}{2x}\). Изменение расстояния \(x\) на малую величину \(\Delta x\) приведёт к тому, что скорость \(u\) увеличится на \(\Delta u\). При этом изменения скорости \(u\) и величины \(x\) связаны друг с другом соотношением: \[\Delta u = \dfrac{VL}{2(x - \Delta x)} - \dfrac{VL}{2x} = \dfrac{VL}{2}\cdot\dfrac{\Delta x}{x^2 - x\Delta x} \approx \dfrac{VL}{2x^2}\Delta x.\] Разделим данное соотношение на величину малого промежутка времени \(\Delta t\), за который эти изменения произошли, и учтём, что \(u = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \approx \dfrac{VL}{2x}\): \[\dfrac{\Delta u}{\Delta t} \approx \dfrac{VL}{2x^2}\cdot\dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{V^2L^2}{4x^3}.\] В соответствии со вторым законом Ньютона ускорение \(\dfrac{\Delta u}{\Delta t}\) равно сумме всех действующих на груз сил, разделённой на его массу. Так как равнодействующая сил натяжения равна \(2F\sin\alpha = 4Fx/L\), то \[\dfrac{\Delta u}{\Delta t} \approx \dfrac{V^2L^2}{4x^3} \approx \dfrac{1}{M}\left(\dfrac{4Fx}{L} - Mg\right).\] Предположим, что не только \(F \gg Mg\), но и \(\dfrac{4Fx}{L} \gg Mg\) (потом нужно будет обязательно проверить, выполняется ли на самом деле это неравенство!). В этом случае \[\dfrac{V^2L^2}{4x^3} \approx \dfrac{4Fx}{ML},\quad\text{и}\quad x \approx \left(\dfrac{MV^2L^3}{16F}\right)^{1/4} = 0{,}1\text{ м}.\] Неравенство \(\dfrac{4Fx}{L} = 1\) Н \(\gg Mg = 0{,}01\) Н действительно выполняется. Теперь можно определить скорость груза в момент разрыва нити: \(u \approx \dfrac{VL}{2x} \approx \left(\dfrac{FLV^2}{M}\right)^{1/4} = 10\) м/с. Следовательно, груз после разрыва нити взлетит на высоту \(h = \dfrac{u^2}{2g} \approx \dfrac{V}{2g}\sqrt{\dfrac{FL}{M}} = 5\) м.