Два самодельных омметра

Нарисуем схему разветвлённой электрической цепи, получившейся у школьников после подключения их приборов к неизвестному резистору (см. рис. 3.60). Сопротивления резисторов \(r_1\) и \(r_2\) включают в себя сопротивления тех резисторов, которые школьники использовали в своих омметрах, а также внутренние сопротивления соответствующих батареек и амперметров.

Согласно правилам расчёта разветвлённых цепей постоянного тока (правила Кирхгофа), сумма токов в каждом узле разветвлённой цепи равна нулю, а сумма падений напряжений вдоль замкнутых контуров, на которые можно разбить эту цепь, равна суммарной ЭДС в этих контурах. Отсюда, выбрав направления текущих в участках цепи токов так, как показано на рисунке, получаем: \[\mathcal{E}_1 = I_1r_1 + (I_1 + I_2)R_x;\qquad \mathcal{E}_2 = I_2r_2 + (I_1 + I_2)R_x.\] Заметим, что при измерении сопротивления резистора \(R\) одним из самодельных омметров через этот омметр течёт ток \(I_i = \dfrac{\mathcal{E}_i}{r_i + R}\) (здесь \(i = 1, 2\)), так что показание каждого омметра связано с текущим через него током формулой: \(I_iR = \mathcal{E}_i - I_ir_i\). Поэтому записанную выше систему уравнений можно переписать в виде: \[I_1R_1 = (I_1 + I_2)R_x;\qquad I_2R_2 = (I_1 + I_2)R_x,\] откуда \[I_1 = (I_1 + I_2)\dfrac{R_x}{R_1},\qquad I_2 = (I_1 + I_2)\dfrac{R_x}{R_2}.\] Складывая эти равенства, получим: \(R_x\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right) = 1\). Отсюда \[R_x = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}.\]