Четыре амперметра и резистор

Амперметр — это резистор с маленьким сопротивлением \(r\), а напряжение на нём равно показанию, умноженному на \(r\). Сравните напряжения на амперметрах \(A_1\) и \(A_2\), которые начинаются в одном узле. Что это говорит о напряжении на \(A_3\) и о направлении тока в нём?

\(\dfrac{r}{R}=\dfrac19\).

Что происходит. Источник подключён к левому и правому узлам схемы. Каждый амперметр — это просто резистор с сопротивлением \(r\): его показание \(I\) означает напряжение \(Ir\). Токи через \(A_1\) и \(A_2\) известны, а амперметр \(A_3\) соединяет две средние точки и показывает ток, которого не знаем ни по величине, ни по направлению. Главная идея — записать закон Ома для каждого участка и закон сохранения заряда (правило узлов) для обоих средних узлов.

Обозначения. Узлы: \(L\) — левый (общий вход \(A_1\) и \(A_2\)), \(K\) — правый (общий выход \(A_4\) и \(R\)), \(M\) — верхний средний, \(N\) — нижний средний. Токи: \(I_1=3\) А, \(I_2=5\) А через \(A_1\) и \(A_2\) (от \(L\)); \(I_3\) — ток через \(A_3\) от \(M\) к \(N\) (знак неизвестен); \(I_4\) — через \(A_4\) от \(M\) к \(K\); \(I_R\) — через \(R\) от \(N\) к \(K\). Потенциалы \(\varphi_L,\varphi_M,\varphi_N,\varphi_K\).

Обратите внимание: токи через \(A_1\) и \(A_2\) идут от \(L\) вправо, потому что в цепи с одним источником и без других источников потенциал \(L\) выше потенциалов всех остальных узлов. Направление тока в \(A_3\) предугадать нельзя — его даёт расчёт.

1. Напряжение на \(A_3\). Закон Ома для амперметров \(A_2\) и \(A_1\) (оба начинаются в узле \(L\)): \(\varphi_L-\varphi_M=I_2r\), \(\varphi_L-\varphi_N=I_1r\). Вычитаем: \[\varphi_M-\varphi_N=(I_1-I_2)\,r=-2\text{ А}\cdot r .\] Но это же напряжение на амперметре \(A_3\): \(\varphi_M-\varphi_N=I_3r\), значит \(I_3=I_1-I_2=-2\) А. Ток в \(A_3\) идёт от \(N\) к \(M\), то есть снизу вверх, и равен \(2\) А.

2. Остальные токи. Правило узлов для узла \(M\) (заряд не накапливается): втекает \(I_2\) от \(A_2\) и 2 А от \(A_3\), вытекает \(I_4\): \[I_4=I_2+2\text{ А}=7\text{ А}.\] Для узла \(N\): втекает \(I_1=3\) А, вытекают 2 А в \(A_3\) и \(I_R\) в резистор: \[I_R=I_1-2\text{ А}=1\text{ А}.\]

3. Сопротивление резистора. Выберем \(\varphi_K=0\). Закон Ома для \(A_4\) и для \(R\): \(\varphi_M=I_4r=7\text{ А}\cdot r\), \(\varphi_N=I_RR=1\text{ А}\cdot R\). Разность \(\varphi_N-\varphi_M=2\text{ А}\cdot r\) известна из пункта 1: \[1\text{ А}\cdot R-7\text{ А}\cdot r=2\text{ А}\cdot r\quad\Rightarrow\quad R=9r .\]

4. Соберём ответ. \[\frac rR=\frac19 .\]

На диаграмме потенциалов (в единицах \(r\cdot1\) А): \(\varphi_L=12\), \(\varphi_N=9\), \(\varphi_M=7\), \(\varphi_K=0\). Узел \(N\) выше \(M\), поэтому ток в \(A_3\) идёт от \(N\) к \(M\).

Проверка. Второй способ — сравнить два пути от \(L\) к \(K\): через \(A_1\) и \(R\) напряжение \(3r+1\cdot R=12r\), через \(A_2\) и \(A_4\) напряжение \(5r+7r=12r\) — равны, как и должно быть для двух путей между одними узлами. Токи у источника: \(I_1+I_2=8\) А вытекает из узла \(L\) и \(I_4+I_R=8\) А втекает в \(K\). Предел: если бы \(R=r\), схема была бы симметричной и \(A_3\) показывал бы нуль, то есть \(I_1=I_2\); в задаче \(I_1<I_2\), значит \(R>r\), как и получилось (\(R=9r\)).

Ответ: \(\dfrac rR=\dfrac19\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.