Шлейфы дыма

Дым, оторвавшись от трубы, движется вместе с воздухом. Где окажутся к данному моменту частица дыма и сам паровоз, если частица вылетела за время \(\Delta t\) до этого? Шлейф направлен вдоль разности каких двух скоростей?

\(v_3\approx 17\text{ км/ч}\) (в ту же сторону, что и \(v_2\); точность чтения рисунка около \(\pm3\text{ км/ч}\)); попутно ветер: \(u\approx 33\text{ км/ч}\).

Что происходит. Оторвавшись от трубы, частица дыма уже не связана с паровозом: она движется вместе с воздухом, то есть со скоростью ветра \(\vec u\) относительно земли. Паровоз при этом уехал вперёд. Шлейф — это цепочка частиц, вылетевших в разные моменты, поэтому его направление говорит о разности скоростей ветра и паровоза. Главная идея — по двум известным паровозам найти ветер, а затем по шлейфу третьего найти его скорость.

Обозначения. Ось \(x\) направим вдоль пути в сторону \(\vec v_2\), ось \(y\) — поперёк пути, туда, куда на рисунке уходят шлейфы. \(\vec u=(u_x,\,u_y)\) — скорость ветра относительно земли, \(\vec v_1=(-50,\,0)\), \(\vec v_2=(70,\,0)\) и \(\vec v_3=(v_3,\,0)\) в км/ч: все паровозы идут вдоль пути.

1. Куда направлен шлейф. Частица вылетела из точки \(A\) за время \(\Delta t\) до снимка. За это время паровоз проехал \(\vec v\,\Delta t\) и оказался в точке \(L\), а частица, унесённая ветром, — \(\vec u\,\Delta t\) и оказалась в точке \(P\). Вектор от паровоза до частицы \[\overrightarrow{LP}=\vec u\,\Delta t-\vec v\,\Delta t=(\vec u-\vec v)\,\Delta t .\] Значит, шлейф, который тянется от паровоза, параллелен разности \(\vec u-\vec v\), то есть скорости ветра в системе отсчёта паровоза. Обратите внимание: шлейф не показывает направление ветра — он параллелен \(\vec u-\vec v\), а не \(\vec u\). У двух разных паровозов шлейфы разные именно потому, что у них разные \(\vec v\).

2. Снимаем углы с рисунка. Транспортиром по рисунку 3 находим углы шлейфов с путём: шлейф первого паровоза идёт под углом \(\alpha_1\approx18{,}5^\circ\) вперёд по оси \(x\), шлейф второго уходит влево, против оси \(x\), под углом \(\alpha_2\approx27^\circ\) к ней, шлейф третьего — под углом \(\alpha_3\approx78^\circ\) к оси \(+x\). Шлейфы идут от паровозов в сторону оси \(y>0\).

3. Скорость ветра. Шлейф первого паровоза параллелен \(\vec u-\vec v_1=(u_x+50,\;u_y)\), шлейф второго — \(\vec u-\vec v_2=(u_x-70,\;u_y)\); вторая разность направлена назад по оси \(x\). Тангенсы углов: \[\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{u_y}{u_x+50},\qquad \operatorname{tg}\alpha_2=\frac{u_y}{70-u_x}.\] Неизвестных две (\(u_x\), \(u_y\)), уравнений две. Выражаем \(u_y\) из обоих и приравниваем: \((u_x+50)\operatorname{tg}\alpha_1=(70-u_x)\operatorname{tg}\alpha_2\), откуда \[u_x=\frac{70\operatorname{tg}\alpha_2-50\operatorname{tg}\alpha_1}{\operatorname{tg}\alpha_1+\operatorname{tg}\alpha_2} =\frac{70\cdot0{,}510-50\cdot0{,}335}{0{,}335+0{,}510}\approx 22\text{ км/ч},\qquad u_y=(u_x+50)\operatorname{tg}\alpha_1\approx 24\text{ км/ч}.\] Ветер \(u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\approx 33\text{ км/ч}\) дует под углом около \(47^\circ\) к пути.

4. Скорость третьего паровоза. Шлейф третьего паровоза параллелен \(\vec u-\vec v_3=(u_x-v_3,\;u_y)\) и составляет с осью \(x\) угол \(\alpha_3\): \[\operatorname{tg}\alpha_3=\frac{u_y}{u_x-v_3}\quad\Rightarrow\quad v_3=u_x-\frac{u_y}{\operatorname{tg}\alpha_3}=22{,}4-\frac{24{,}2}{4{,}70}\approx 17\text{ км/ч}.\] Знак плюс: паровоз идёт в ту же сторону, что и второй.

Построение в плоскости скоростей. Те же три условия можно нарисовать: отложим на оси \(v_x\) точки \(v_1\), \(v_2\) и проведём из них прямые, параллельные шлейфам; точка пересечения — конец вектора \(\vec u\) из нуля. Прямая через неё, параллельная шлейфу третьего паровоза, пересекает ось в точке \(v_3\).

Проверка. Предел: если бы паровоз шёл с продольной скоростью ветра (\(v_3=u_x=22\text{ км/ч}\)), шлейф был бы строго поперёк пути, \(\alpha_3=90^\circ\). На рисунке \(78^\circ\) — чуть меньше, значит, \(v_3\) чуть меньше \(22\text{ км/ч}\), как и получилось. Если бы паровоз стоял, шлейф шёл бы вдоль ветра под \(47^\circ\) — на рисунке он заметно круче. Погрешность: ошибка угла в \(1^\circ\) меняет \(v_3\) примерно на \(2\text{--}3\text{ км/ч}\), поэтому ответ — около \(17\text{ км/ч}\).

Ответ: \(v_3\approx17\text{ км/ч}\) в сторону движения второго паровоза; ветер \(u\approx33\text{ км/ч}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.