Переправа через реку с наименьшим сносом

Скорость Васи относительно воды имеет заданную длину, но любое направление: её конец лежит на окружности. Какая касательная к этой окружности даёт наименьший снос?

Если скорость Васи больше скорости течения реки (в частности, в случае (а)), он может попасть в точку B. Векторы скоростей течения реки \(\vec u\), Васи относительно воды \(\vec v\) и Васи относительно берега \(\vec u + \vec v\) приведены на рисунке:

Пусть скорость Васи меньше скорости течения реки. Изобразим на рисунке вектор скорости течения реки \(\vec u\). Вектор скорости Васи \(\vec v\) относительно воды имеет фиксированную величину, но его направление может быть любым. Возможные варианты расположения вектора \(\vec v\) изображены пунктиром на рисунке. Конец данного вектора лежит на окружности:

Смещение Васи относительно точки B окажется минимальным, если угол \(\alpha\) между скоростью Васи относительно берега \(\vec v_1 = \vec u + \vec v\) и направлением к точке B окажется как можно ближе к \(90^\circ\); при этом вектор \(\vec v_1\), направленный по касательной к окружности, окажется перпендикулярен вектору \(\vec v\), направленному вдоль радиуса окружности:

Учитывая, что по теореме Пифагора \(|\vec v_1| = \sqrt{u^2 - v^2}\), имеем \(\operatorname{ctg}\alpha = \sqrt{u^2 - v^2}/v\). При переправе Вася сместится относительно точки B на расстояние \(x = L\operatorname{ctg}\alpha = L\sqrt{u^2 - v^2}/v\):

В случае (б) смещение Васи относительно точки B равно \(x = 75\) м.