Вольтметр с конечным сопротивлением

Предсказание Станислава верно для идеальных приборов. Учтите внутреннее сопротивление батарейки \(r\) и конечное сопротивление вольтметра \(R_V\), а затем используйте отношение показаний \(4:7:12\).

Пусть \(\mathcal E\) — ЭДС батарейки.

Станислав мог считать батарейку и вольтметр идеальными. Поскольку сопротивления резисторов и силы тока через них одинаковые, напряжения на резисторах также равны между собой. Поскольку их сумма равна \(\mathcal E\), каждое из напряжений равно \(\mathcal E/3\). Следовательно, \(U_{AB} = \mathcal E/3\), \(U_{AC} = 2\mathcal E/3\), \(U_{AD} = \mathcal E\). При \(U_{AB} = 4\) В получим \(U_{AC} = 8\) В, \(U_{AD} = 12\) В.

Однако батарейка и вольтметр вполне могут и не быть идеальными. Пусть \(R\) — сопротивление каждого из резисторов, \(r\) — внутреннее сопротивление батарейки, \(R_V\) — сопротивление вольтметра. Найдём показания вольтметра при подключении к разным клеммам схемы.

Пусть вольтметр подключён к клеммам A и B. Изобразим схему электрической цепи, заменив неидеальную батарейку на последовательно соединённые идеальную батарейку и сопротивление:

Сила тока через вольтметр равна \(U_{AB}/R_V\); сила тока через резистор, параллельный вольтметру, равна \(U_{AB}/R\); следовательно, сила тока через батарейку равна \[I = \frac{U_{AB}}{R_V} + \frac{U_{AB}}{R}.\] Напряжение между точками B и E составляет, с одной стороны, \(I(2R + r)\), а с другой стороны, \(\mathcal E - U_{AB}\). Отсюда \(I = \dfrac{\mathcal E - U_{AB}}{2R + r}\). Из двух соотношений для \(I\) получим \[\frac{U_{AB}}{R_V} + \frac{U_{AB}}{R} = \frac{\mathcal E - U_{AB}}{2R + r}.\] Отсюда \[\frac{\mathcal E}{U_{AB}} = (2R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1.\] Аналогично получим \[\frac{\mathcal E}{U_{AC}} = (R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1{2R}\right) + 1; \qquad \frac{\mathcal E}{U_{AD}} = r\left(\frac1{R_V} + \frac1{3R}\right) + 1.\] Для анализа этой системы удобно учесть пропорцию \(U_{AB} : U_{AC} : U_{AD} = 4 : 7 : 12\). В частности, из свойства \(\mathcal E/U_{AB} = 3\mathcal E/U_{AD}\) получим \[(2R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1 = 3r\left(\frac1{R_V} + \frac1{3R}\right) + 3,\] или \(R = r\). Также учтём свойство \(4\mathcal E/U_{AB} = 7\mathcal E/U_{AC}\): \[4\cdot\left((2R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1\right) = 7\cdot\left((R + r)\left(\frac1{R_V} + \frac1{2R}\right) + 1\right).\] Поскольку \(R = r\), преобразуем свойство как \[4\cdot\left(3R\left(\frac1{R_V} + \frac1R\right) + 1\right) = 7\cdot\left(2R\left(\frac1{R_V} + \frac1{2R}\right) + 1\right).\] Из него получим \(R_V = R\).

Таким образом, данные задачи позволяют сделать вывод, что сопротивления батарейки, резисторов и вольтметра одинаковые (батарейка и вольтметр, таким образом, очень далеки от идеальности). В этом случае \(U_{AB} = \mathcal E/7\), \(U_{AC} = \mathcal E/4\), \(U_{AD} = 3\mathcal E/7\). Из данных задачи получаем \(\mathcal E = 28\) В.