Тень воздушного шарика на ветру

Выразите координаты тени через координаты шарика: при угле \(45^\circ\) смещение тени по горизонтали равно высоте шарика. Направление движения Ярослава по земле может быть любым.

Введём систему координат таким образом, чтобы ось \(z\) была направлена вертикально вверх, начало координат было на поверхности земли, а луч света падал в плоскости, проходящей через оси \(x\) и \(z\).

Пусть \((x_\text{ш}, y_\text{ш}, z_\text{ш})\) — координаты шарика. Тогда, как вытекает из рисунка, \(x\)-координата тени равна \(x_\text{т} = x_\text{ш} + z_\text{ш}\). При этом \(y\)-координата тени равна \(y_\text{ш}\).

Из полученных соотношений для координат тени и шарика выразим проекции скорости тени через проекции скорости шарика: \[v_{\text{т}x} = v_{\text{ш}x} + v_{\text{ш}z}, \qquad v_{\text{т}y} = v_{\text{ш}y}.\] Запишем выражения для проекций скорости на основе условий задачи. Если Ярослав движется по поверхности земли под углом \(\alpha\) к оси \(x\), его проекции скорости составляют \((v_{\text{Я}x} = u\cos\alpha;\ v_{\text{Я}y} = u\sin\alpha)\). Поскольку шарик движется относительно Ярослава по вертикали со скоростью \(v\), проекции скорости шарика составляют \((v_{\text{ш}x} = u\cos\alpha;\ v_{\text{ш}y} = u\sin\alpha;\ v_{\text{ш}z} = v)\). Проекции скорости тени оказываются равны \[(v_{\text{т}x} = u\cos\alpha + v;\ v_{\text{т}y} = u\sin\alpha).\] Найдём квадрат скорости тени: \[v_\text{т}^2 = (u\cos\alpha + v)^2 + (u\sin\alpha)^2 = u^2 + v^2 + 2uv\cos\alpha.\] Он минимален при \(\cos\alpha = -1\) и максимален при \(\cos\alpha = 1\), пробегая значения в диапазоне от \((u - v)^2\) до \((u + v)^2\). Следовательно, модуль скорости тени может пробегать значения в диапазоне от \(|u - v| = 1\) м/с до \(u + v = 3\) м/с.