Смешивание воды в стакане

Подумайте, что ещё, кроме воды, нагревается в опыте. Из первого опыта найдите теплоёмкость стакана, выраженную через теплоёмкость полного стакана воды.

Пусть \(m\) — масса воды в полном стакане, \(c\) — удельная теплоёмкость воды, \(C\) — теплоёмкость стакана (произведение массы стакана на удельную теплоёмкость материала, из которого изготовлен стакан).

Алиса могла предположить, что теплоёмкостью стакана можно пренебречь. Она могла рассчитать конечную температуру \(t\) следующим образом. Вода, налитая в стакан изначально, получила количество теплоты \(\frac{cm}{2}(t - t_0)\); вода, налитая дополнительно, отдала количество теплоты \(\frac{cm}{2}(t_1 - t)\). Поскольку количества теплоты одинаковы, \(\frac{cm}{2}(t - t_0) = \frac{cm}{2}(t_1 - t)\) и \(t = (t_0 + t_1)/2 = 25^\circ\)C.

Установившаяся температура могла оказаться другой из-за того, что стакан имеет конечную теплоёмкость. В этом случае стакан и вода, налитая изначально, получают количество теплоты \(\left(C + \frac{cm}{2}\right)(t_2 - t_0)\), а вода, налитая дополнительно, отдаёт количество теплоты \(\frac{cm}{2}(t_1 - t_2)\). Приравнивая количества теплоты, составим уравнение \[\left(C + \frac{cm}{2}\right)(t_2 - t_0) = \frac{cm}{2}(t_1 - t_2),\] на основе которого можно найти отношение теплоёмкости стакана к теплоёмкости воды: \(\left(C + \frac{cm}{2}\right)\cdot 3 = \frac{cm}{2}\cdot 7\) и \(C = \dfrac{2cm}{3}\).

Во втором опыте стакан и вода, налитая изначально, получают количество теплоты \(\left(C + \frac{cm}{3}\right)(t_3 - t_0)\), а вода, налитая дополнительно, отдаёт количество теплоты \(\frac{2cm}{3}(t_1 - t_3)\). Приравнивая количества теплоты, составим уравнение \[\left(C + \frac{cm}{3}\right)(t_3 - t_0) = \frac{2cm}{3}(t_1 - t_3).\] Подставляя найденное выше значение теплоёмкости стакана, приведём соотношение к виду \(3(t_3 - t_0) = 2(t_1 - t_3)\). Отсюда \(t_3 = 24^\circ\)C.