Груз на нити через блок

Длина наклонного участка нити уменьшается со скоростью \(v_0\), а расстояние от груза до блока по горизонтали — со скоростью груза. Свяжите их через теорему Пифагора, затем найдите ускорение груза и запишите второй закон Ньютона.

Пусть \(l\) — длина наклонного участка нити, а \(x\) — расстояние от груза до блока по горизонтали:

Запишем теорему Пифагора: \[l^2 = x^2 + H^2. \tag{1}\] За малый промежуток времени \(\Delta t\) величина \(x\) уменьшается на \(u\Delta t\), где \(u\) — скорость бруска: \(\Delta x = -u\Delta t\). Величина \(l\) уменьшается на \(v_0\Delta t\): \(\Delta l = -v_0\Delta t\). Записывая малые изменения левой и правой частей соотношения (1), получим \(\Delta(l^2) = \Delta(x^2)\), или \(2l\Delta l = 2x\Delta x\), или \[l\cdot v_0 = x\cdot u. \tag{2}\] Отсюда находим скорость движения бруска: \(u = \dfrac lx v_0 = \dfrac{v_0}{\cos\alpha}\).

Для нахождения ускорения бруска рассмотрим малые изменения левой и правой частей соотношения (2). Имеем \(v_0\Delta l = x\Delta u + u\Delta x\), или \(-v_0^2\Delta t = x\Delta u - u^2\Delta t\). Отсюда \[\frac{\Delta u}{\Delta t} = \frac{u^2 - v_0^2}{x} = \frac{v_0^2}{H/\operatorname{tg}\alpha}\left(\frac1{\cos^2\alpha} - 1\right) = \frac{v_0^2}{H}\operatorname{tg}^3\alpha.\] Пусть \(T\) — сила натяжения нити, \(N \ge 0\) — сила нормального давления, действующая на брусок. Запишем второй закон Ньютона для движения бруска в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления: \[T\cos\alpha = m\frac{\Delta u}{\Delta t} = m\frac{v_0^2}{H}\operatorname{tg}^3\alpha \qquad\text{и}\qquad N + T\sin\alpha - mg = 0.\] Первое равенство даёт \(T = \dfrac{mv_0^2\operatorname{tg}^3\alpha}{H\cos\alpha}\), из второго соотношения с учётом \(N \ge 0\) находим \(T\sin\alpha \le mg\) и \(\dfrac{v_0^2\operatorname{tg}^4\alpha}{H} \le g\). Таким образом, когда в процессе движения бруска величина \(v_0^2\operatorname{tg}^4\alpha/H\) станет равной \(g\), брусок оторвётся от горизонтальной поверхности.