Груз на двух блоках

Какое натяжение нити нужно, чтобы почти невесомый блок двигался с конечным ускорением? Запишите условие нерастяжимости нити и продифференцируйте его дважды.

Для определения ускорения груза массы блоков можно принять равными нулю (так как массы блоков пренебрежимо малы по сравнению с массой груза \(M\)). Тогда, записывая второй закон Ньютона, например, для блока 1, получаем, что натяжение нити в системе равно нулю (на самом деле оно очень маленькое, гораздо меньше чем \(Mg\)). Следовательно, груз вместе с нижним блоком падают с ускорением \(g\).

Записав длину нити и продифференцировав уравнение по времени дважды, получаем уравнение кинематической связи для ускорений: \[2a_3 - a_1 + a_2 = 0 \;\Rightarrow\; a_1 - a_2 = 2g,\] где \(a_1\) "— проекция ускорения блока 1, \(a_2\) "— проекция ускорения блока 2, \(a_3\) "— проекция ускорения нижнего блока (ось направлена вниз).

У нас получается одно уравнение и две неизвестных. Как же разрешить возникшую проблему? Необходимо вспомнить, что хоть блоки в системе и очень лёгкие, всё же они имеют некоторую массу, а значит, и натяжение в системе не совсем равно нулю. Тогда запишем второй закон Ньютона для блоков 1 и 2: \[\begin{align*} mg + T &= m a_1,\\ mg - T &= m a_2, \end{align*}\] где \(m\) "— массы блоков 1 и 2 (блоки по условию задачи одинаковые, а значит, массы у них равны), \(T\) "— натяжение нити (нить невесома, трения нет, следовательно, натяжение во всей нити одинаково). Решая систему из трёх уравнений, получаем: \(a_1 = 2g\), \(a_2 = 0\).