Цепь из четырёх конденсаторов

В конце зарядки по симметрии на каждом конденсаторе напряжение \(\mathcal E/2\). После подключения резистора напряжение на конденсаторе между \(A_1\) и \(A_2\) обратится в нуль; используйте равенство напряжений между \(A_1\) и \(A_3\) по двум ветвям и сохранение заряда на изолированных пластинах.

(а) Когда ток через батарейку становится пренебрежимо малым, на пластинах конденсаторов в силу симметрии схемы устанавливаются заряды \(\pm q\), как показано на рисунке. Поскольку ЭДС батарейки \(\mathcal E\) равна сумме напряжений на двух конденсаторах (каждое из напряжений \(q/C\)), имеем \(\mathcal E = 2q/C\) и \(q = C\mathcal E/2\).

(б) Отметим на рисунке заряды на конденсаторах, когда ток через резистор становится пренебрежимо малым. Заряд конденсатора, подключённого к точкам \(A_2\) и \(A_3\), обозначим через \(q_1\), заряды двух конденсаторов, подключённых к точке \(A_4\) — через \(q_2\). Учтём, что напряжение и заряд на конденсаторе, подключённом к точкам \(A_1\) и \(A_2\), обращаются в нуль.

Разность потенциалов между точками \(A_1\) и \(A_3\) равна, с одной стороны, \(q_1/C\), а с другой стороны \(2q_2/C\). Следовательно, \(q_1 = 2q_2\). Общий заряд на пластинах, подключённых к точке \(A_3\), должен сохраняться, поэтому \(q_1 + q_2 = 2q\). Из двух полученных соотношений для зарядов находим \(q_1 = 4q/3 = 2C\mathcal E/3\), \(q_2 = 2q/3 = C\mathcal E/3\).

(в) Поскольку заряд на конденсаторе, подключённом к резистору, всё время уменьшался, максимальная сила тока через резистор наблюдалась в момент подключения резистора и была равна отношению напряжения на конденсаторе \(q/C = \mathcal E/2\) к сопротивлению резистора \(R\): \(I_{\max} = \mathcal E/(2R)\).

(г) Энергия конденсаторов до подключения резистора равна \(4\cdot C(\mathcal E/2)^2/2 = C\mathcal E^2/2\), а после подключения — равна \(C(2\mathcal E/3)^2/2 + 2C(\mathcal E/3)^2/2 = C\mathcal E^2/3\). Следовательно, на резисторе выделится количество теплоты \(C\mathcal E^2/2 - C\mathcal E^2/3 = C\mathcal E^2/6\).