Задачи › Циклы, работа в цикле

Цикл-звезда на pV-диаграмме

  1. Цикл-звезда на pV-диаграмме

    МОШ 2014/15, 11 кл.
    5/10

    Над идеальным газом совершают циклический процесс, который на \(pV\)-диаграмме изображается в виде звезды, соединяющей точки \(A(p_0; V_0)\), \(B(5p_0; 4V_0)\), \(C(p_0; 7V_0)\), \(D(4p_0; V_0)\), \(E(4p_0; 7V_0)\) и \(A(p_0; V_0)\). Как выразить работу \(A\), совершённую газом за цикл, через площади образовавшихся на рисунке треугольников и пятиугольника? Выразите эту работу через параметры \(p_0\) и \(V_0\). Рассчитайте численное значение работы, если минимальная температура газа равна \(T_0 = 100\) К, а количество вещества составляет \(\nu = 1\) моль. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Работа за цикл равна площади, ограниченной циклом, со знаком по направлению обхода. Звезду можно разложить на два простых замкнутых цикла. Работу проще посчитать по участкам как площади трапеций под графиком.

    Ответ

    Работа газа равна сумме площадей треугольников и удвоенной площади пятиугольника. Она равна \(A = 12\nu RT_0 = 10\) кДж.

    Решение

    Представленный на рисунке цикл можно представить как совокупность двух циклов:

    Рисунок

    Работа в каждом из этих циклов равна площади фигуры, ограниченной циклом. При сложении работ получаем, что площади треугольников надо учитывать с коэффициентом 1, а площадь пятиугольника — с коэффициентом 2: \(A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + 2A_6\).

    Рисунок

    Однако рассчитывать работу удобнее, складывая работы на отдельных участках \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EA\). На каждом из участков работа газа равна площади трапеции под графиком. По формуле для площади трапеции получим \(A_{AB} = A_{BC} = 9p_0V_0\), \(A_{CD} = A_{EA} = -15p_0V_0\), \(A_{DE} = 24p_0V_0\). Складывая работы, находим \(A = 12p_0V_0\).

    Поскольку как давление, так и объём минимальны в точке \(A\), температура газа, пропорциональная произведению давления на объём, также минимальна в этой точке. Согласно уравнению идеального газа, \(p_0V_0 = \nu RT_0\). Отсюда \(A = 12\nu RT_0 = 10\) кДж.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх