Треугольный цикл одноатомного газа

На участках \(AB\) и \(CA\) знак теплоты ясен по знакам работы и изменения внутренней энергии. На участке \(BC\) работа положительна, а внутренняя энергия убывает — найдите точку, где теплота меняет знак, рассматривая малое приращение объёма.

На участке \(AB\) совершаемая газом работа и изменение внутренней энергии газа положительны; следовательно, происходит теплообмен с нагревателем. На участке \(CA\) совершаемая газом работа и изменение внутренней энергии газа отрицательны; следовательно, происходит теплообмен с холодильником. Для участка \(BC\) надо проводить более детальное исследование: работа положительна, а температура и внутренняя энергия уменьшаются.

Запишем уравнение процесса \(BC\): \(p = p_0\left(4 - \dfrac V{V_0}\right)\). Рассмотрим малый участок процесса, на котором газ расширяется от объёма \(V\) до \(V + \Delta V\). На данном участке давление изменяется от \(p\) до \(p + \Delta p\), причём \(\Delta p = -\dfrac{p_0}{V_0}\Delta V\). Получаемое газом на данном малом участке количество теплоты \(\Delta Q\) складывается из изменения внутренней энергии \(\Delta U = \Delta(1{,}5pV) = 1{,}5p\Delta V + 1{,}5V\Delta p\) и совершаемой газом работы \(p\Delta V\): \(\Delta Q = 2{,}5p\Delta V + 1{,}5V\Delta p\). Учитывая соотношение для \(\Delta p\) и \(\Delta V\), получим \[\Delta Q = 2{,}5p\Delta V - 1{,}5V\frac{p_0}{V_0}\Delta V = 2{,}5p_0\left(4 - \frac V{V_0}\right)\Delta V - 1{,}5V\frac{p_0}{V_0}\Delta V = p_0\Delta V\left(10 - \frac{4V}{V_0}\right).\] Тепловой эффект оказывается положительным при \(V < 2{,}5V_0\) и отрицательным при \(V > 2{,}5V_0\). Таким образом, на участке \(BK\) происходит теплообмен с нагревателем, на участке \(KC\) — с холодильником (\(K\) — середина отрезка \(BC\)).

Найдём тепловой эффект на участках \(ABK\) и \(KCA\). Разность внутренних энергий в точках \(K\) и \(A\) составляет \[U_K - U_A = 1{,}5\left(2{,}5\cdot 1{,}5\,p_0V_0 - p_0V_0\right) = 16{,}5\cdot 0{,}25\,p_0V_0.\] Работа газа на каждом из участков считается как площадь под графиком (следует учесть, что площадь одной клетки равна \(0{,}25\,p_0V_0\)): \(A_{ABK} = 9{,}5\cdot 0{,}25\,p_0V_0\), \(A_{KCA} = -5{,}5\cdot 0{,}25\,p_0V_0\). Следовательно, \[Q_{ABK} = U_K - U_A + A_{ABK} = 6{,}5\,p_0V_0, \qquad Q_{KCA} = U_A - U_K + A_{KCA} = -5{,}5\,p_0V_0.\]