Давление воды на кубик и полусферу

Представьте, что под тело подтекла вода: тогда сила давления на тело вместе с силой давления на его основание дадут силу Архимеда. Если сила давления горизонтальна, вертикальная составляющая силы на основание равна силе Архимеда.

Пусть \(\rho\) — плотность жидкости, \(g\) — ускорение свободного падения. Получим сначала формулу для силы давления жидкости на плоскую фигуру (квадрат или круг) площадью \(S\), имеющую центр симметрии \(O\) на глубине \(H\) и наклонённую под углом к горизонту. Выделим два маленьких участка площадью \(\Delta S/2\) каждый, симметричные относительно точки \(O\): один — на глубине \(H + y\), другой — на глубине \(H - y\):

На эти участки действуют силы давления \(\rho g(H + y)\Delta S/2\) и \(\rho g(H - y)\Delta S/2\) — в сумме \(\rho g H\Delta S\). Учитывая вклад от всех участков, находим, что сила давления на рассматриваемую плоскую фигуру составляет \(\rho g H S\).

Изложим теперь два способа решения задачи о кубике. Пусть \(a\) — длина ребра куба, тогда площадь грани куба составляет \(a^2\). Обозначим через \(\alpha\) угол наклона дна сосуда к горизонту. В плоскости рисунка направим ось \(x\) горизонтально, ось \(y\) — вертикально вверх.

Задача о кубике. Первый способ. Изобразим на рисунке силы давления, действующие на грани кубика. Силы, действующие на грани, параллельные плоскости рисунка, компенсируются — их можно не учитывать.

Учитывая, что центр верхней грани находится на глубине \(\frac a2\sin\alpha\), запишем \(F_1 = \rho g\cdot\frac a2\sin\alpha\cdot a^2\). Аналогично \(F_2 = \rho g\cdot\frac a2\cos\alpha\cdot a^2\) и \(F_3 = \rho g\left(a\sin\alpha + \frac a2\cos\alpha\right)a^2\). Сумма проекций этих сил на ось \(y\) равна \[F_y = (F_3 - F_2)\sin\alpha - F_1\cos\alpha = \rho g\cdot a\sin\alpha\cdot a^2\cdot\sin\alpha - \rho g\cdot\frac a2\sin\alpha\cdot a^2\cdot\cos\alpha.\] Эта сумма обращается в нуль при \(\sin\alpha = \frac12\cos\alpha\) и \(\operatorname{tg}\alpha = 1/2\).

Задача о кубике. Второй способ. Пусть \(\vec F\) — равнодействующая сил давления, действующих на кубик. Если под дно кубика будет подтекать вода, то сила \(\vec F\) вместе с силой \(\vec F_4\), действующей на дно кубика, будут образовывать силу Архимеда \(\vec F_A\): \(\vec F_A = \vec F + \vec F_4\).

Учитывая, что центр нижней грани находится на глубине \(a\cos\alpha + \frac a2\sin\alpha\), получим \(F_4 = \rho g\left(a\cos\alpha + \frac a2\sin\alpha\right)a^2\). Горизонтальность силы \(\vec F\) означает, что \(F_4\cos\alpha = F_A\), или \[\rho g\left(a\cos\alpha + \frac a2\sin\alpha\right)a^2\cos\alpha = \rho g a^3.\] Преобразуя данное соотношение, находим \(\left(\cos\alpha + \frac12\sin\alpha\right)\cos\alpha = 1\), или \(\operatorname{tg}\alpha = 1/2\).

Задача о полусфере. Пусть \(R\) — радиус полусферы, \(\beta\) — угол наклона дна сосуда к горизонту. Задачу о полусфере удобнее решать способом, аналогичным второму способу решения задачи о кубике. Пусть \(\vec F\) — равнодействующая сил давления, действующих на полусферу. Представим, что под дно полусферы подтекает вода; тогда сила \(\vec F\) вместе с силой \(\vec F_4\), действующей на дно полусферы, будут образовывать силу Архимеда \(\vec F_A\): \(\vec F_A = \vec F + \vec F_4\).

Учитывая, что центр дна полусферы находится на глубине \(R\), а площадь дна полусферы \(\pi R^2\), получим \(F_4 = \rho g R\cdot\pi R^2\). Горизонтальность силы \(\vec F\) означает, что \(F_4\cos\beta = F_A\), или \[\rho g R\cdot\pi R^2\cos\beta = \rho g\cdot\frac23\pi R^3.\] Преобразуя данное соотношение, находим \(\cos\beta = \dfrac23\), или \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{\sqrt5}{2}\approx 1{,}12\).