Аквариум на пружинах

Стенка не должна ни отойти, ни повернуться. Найдите силу давления воды и точку её приложения, а затем запишите условия на силу и на моменты относительно верхнего и нижнего рёбер стенки — какое из них самое жёсткое?

1. Метод 1. Воспользуемся методом виртуальных перемещений для определения сил.

Для этого определим изменение потенциальной энергии, равное работе силы тяжести. Представим, что жидкость переходит из верхнего слоя в образовавшееся пространство, тогда \(A_g = -\Delta\Pi \le -A_F\). Масса перешедшей жидкости \(m = \rho a^2\delta x\).

Для равнодействующей сил давления получаем: \[(2k\Delta x + k\Delta x)\delta x \ge (\rho a^2\delta x)g\frac{a}{2} \;\Rightarrow\; k\Delta x \ge \frac{\rho g a^3}{6}.\] Для моментов сил давления относительно верхнего ребра получаем, что центр тяжести слоя жидкости опускается на \(\dfrac{2a}{3}\): \[k\Delta x\,\delta x \ge \frac{\rho a^2\delta x}{2}g\frac{2a}{3} \;\Rightarrow\; k\Delta x \ge \frac{\rho g a^3}{3}.\] Для моментов сил давления относительно нижнего ребра получаем, что центр тяжести слоя жидкости опускается на \(\dfrac{a}{3}\): \[2k\Delta x\,\delta x \ge \frac{\rho a^2\delta x}{2}g\frac{a}{3} \;\Rightarrow\; k\Delta x \ge \frac{\rho g a^3}{12}.\]

Метод 2. В заполненном аквариуме на боковую стенку действует сила давления воды \(F_P = \frac12\rho g a^3\). Для решения необходимо определить точку приложения этой силы. Поскольку по горизонтали давление воды на одном и том же уровне одинаково, очевидно, что эта точка будет находиться на срединной вертикали.

По вертикали давление распределяется линейно от нуля наверху до \(\rho g a\) внизу.

Известно, что центр тяжести треугольника расположен в точке пересечения его медиан.

Используя аналогию распределения давления по вертикали в нашем случае с распределением по высоте массы полосок одинаковой ширины, на которые параллельно основанию мысленно разрезан равнобедренный треугольник, можно утверждать, что точка приложения силы находится на расстоянии \(a/3\) от дна сосуда.

Метод 3. Строгий математический расчёт силы и моментов сил можно опровести с помощью интегрирования.

Определим давление как функцию \(y\) — глубины от поверхности жидкости: \(p(y) = \rho g y\).

Суммарная сила давления воды: \[F_P = \int\limits_0^a p(y)\,a\,dy = \frac{\rho g a^3}{2}.\] Момент силы относительно верхней кромки: \[M_\text{в} = \int\limits_0^a y\,p(y)\,a\,dy = \frac{\rho g a^4}{3}.\] Момент силы относительно нижней кромки: \[M_\text{н} = \int\limits_0^a (a - y)\,p(y)\,a\,dy = \frac{\rho g a^4}{6}.\] Условия для отсутствия протечек можно записать в виде неравенств: \[3k\Delta x \geqslant \frac{\rho g a^3}{2} \quad \text{(условие на направление результирующей силы)},\] \[k\Delta x\cdot a \geqslant \frac{\rho g a^4}{3} \quad \text{(отсутствие поворота вокруг верхнего ребра)},\] \[2k\Delta x\cdot a \geqslant \frac{\rho g a^4}{6} \quad \text{(отсутствие поворота вокруг нижнего ребра)}.\] Очевидно, неравенство \(k\Delta x \geqslant \dfrac{\rho g a^3}{3}\) наиболее жесткое. Откуда \[\Delta x_{\min} = \frac{\rho g a^3}{3k}.\]

2. Отметим, что, поскольку пружины сжимаются одинаково, суммарная сила, с которой они будут давить на стенку аквариума, будет в 2 раза больше силы давления воды.

Если пружины в условии поменять местами, последние 2 условия примут вид:

\[3k\Delta x \geqslant \frac{\rho g a^3}{2} \quad \text{(условие на направление результирующей силы)},\] \[2k\Delta x\cdot a \geqslant \frac13\rho g a^3 \quad \text{(отсутствие поворота вокруг верхнего ребра)},\] \[k\Delta x\cdot a \geqslant \frac16\rho g a^3 \quad \text{(отсутствие поворота вокруг нижнего ребра)}.\] Откуда \(\Delta x_{\min} = \dfrac{\rho g a^3}{6k}\). При этом суммарная сила, с которой пружины будут давить на стенку аквариума, в точности совпадет с силой давления.