Кастрюля с водой и спиртом

Кривые изгибаются, значит, часть тепла плита теряет в воздух, и мощность нагрева не постоянна. Но она одна и та же для воды и для спирта при одной и той же температуре кастрюли. Что получится, если сравнить время нагрева воды и спирта через один и тот же интервал температур?

\(c_{\text{сп}}\approx2{,}6\cdot10^3\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\),  \(L\approx6\cdot10^5\text{ Дж/кг}\) (точность около 15–20 %).

Что происходит. Плита греет кастрюлю с жидкостью, но часть тепла уходит в воздух, и чем горячее кастрюля, тем больше эта часть. Поэтому кривые не прямые: нагрев замедляется. Остаток — полезная мощность \(P_{\text{п}}(t)\) — идёт на нагрев кастрюли и жидкости. Она зависит только от температуры \(t\) кастрюли (плита и кастрюля те же) и поэтому одна и та же для воды и для спирта. Главная идея — сравнивать два графика при одинаковой температуре.

Обозначения. \(C=200\text{ Дж/К}\) — теплоёмкость кастрюли; вода: \(m_{\text{в}}=0{,}5\text{ кг}\), \(c_{\text{в}}=4200\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\); спирт: \(m_{\text{с}}=0{,}7\text{ кг}\), удельная теплоёмкость \(c\) ищем; \(L\) — удельная теплота парообразования спирта. Теплоёмкость воды с кастрюлей \(C_{\text{в}}=C+c_{\text{в}}m_{\text{в}}=2300\text{ Дж/К}\).

1. Тепловой баланс за малое время. Пока жидкость не кипит, за малое время \(d\tau\) полезное тепло \(P_{\text{п}}(t)\,d\tau\) нагревает кастрюлю с жидкостью на \(dt\): \[P_{\text{п}}(t)\,d\tau=(C+cm)\,dt\quad\Rightarrow\quad d\tau=\frac{(C+cm)\,dt}{P_{\text{п}}(t)}.\] Просуммируем от \(t_a\) до \(t_b\): время нагрева \[\tau=(C+cm)\int_{t_a}^{t_b}\frac{dt}{P_{\text{п}}(t)}.\] Интеграл — одинаковое число для воды и для спирта (тот же интервал температур, та же \(P_{\text{п}}(t)\)), значит \[\frac{\tau_{\text{с}}}{\tau_{\text{в}}}=\frac{C+c\,m_{\text{с}}}{C+c_{\text{в}}m_{\text{в}}} .\]

2. Теплоёмкость спирта. Возьмём интервал от \(40^\circ\text{C}\) до \(70^\circ\text{C}\), где кривые разошлись и читаются хорошо. По графику (рисунок ниже) спирт проходит его с \(2{,}6\) до \(8{,}5\) мин, то есть за \(5{,}9\) мин, вода — с \(4{,}0\) до \(10{,}7\) мин, за \(6{,}7\) мин. Тогда \[C+c\,m_{\text{с}}=2300\cdot\frac{5{,}9}{6{,}7}\approx2020\text{ Дж/К},\qquad c=\frac{2020-200}{0{,}7}\approx2{,}6\cdot10^3\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}.\]

3. Полезная мощность при \(78^\circ\text{C}\). У спирта график при \(78^\circ\text{C}\) обрывается — начинается кипение, и мощность по его кривой не прочитать. Но \(P_{\text{п}}\) зависит от температуры, а не от жидкости, поэтому берём её по кривой воды, которая проходит \(78^\circ\text{C}\) на \(13{,}1\)-й минуте. Касательная в этой точке имеет наклон \(dt/d\tau\approx3{,}1\text{ К/мин}\approx0{,}052\text{ К/с}\). Из баланса пункта 1 для воды \[P_{\text{п}}(78^\circ\text{C})=C_{\text{в}}\,\frac{dt}{d\tau}\approx2300\cdot0{,}052\approx1{,}2\cdot10^2\text{ Вт}.\] Обратите внимание: делить всю энергию на время нагрева нельзя — полезная мощность не постоянна. Водяная кривая при \(78^\circ\text{C}\) идёт с наклоном примерно в 1,7 раза меньшим, чем при \(30^\circ\text{C}\) (\(P_{\text{п}}\approx2{,}2\cdot10^2\) Вт там против \(1{,}2\cdot10^2\) Вт здесь): потери растут с температурой, как показывает второй рисунок.

4. Кипение спирта. При кипении температура спирта и кастрюли остаётся \(78^\circ\text{C}\), поэтому полезная мощность прежняя — около \(120\) Вт — и вся она идёт на парообразование: за \(\tau_{\text{к}}=30\text{ мин}=1800\text{ с}\) испаряется половина спирта, \(m_{\text{с}}/2=0{,}35\text{ кг}\). Закон сохранения энергии для кипения: \[P_{\text{п}}\,\tau_{\text{к}}=L\,\frac{m_{\text{с}}}{2}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{2P_{\text{п}}\tau_{\text{к}}}{m_{\text{с}}}=\frac{120\cdot1800}{0{,}35}\approx6\cdot10^5\text{ Дж/кг}.\]

Проверка. Согласованность модели: с найденной теплоёмкостью \(2020\) Дж/К спирт должен нагреваться при \(60^\circ\text{C}\) со скоростью \(P_{\text{п}}(60^\circ)/2020\approx164/2020\approx0{,}081\text{ К/с}\approx4{,}9\text{ К/мин}\); по кривой спирта в этой точке выходит около \(4{,}7\text{ К/мин}\) — совпадение в пределах \(5\,\%\). Табличные значения для спирта — \(2{,}4\cdot10^3\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\) и около \(8{,}5\cdot10^5\text{ Дж/кг}\): теплоёмкость сошлась с точностью \(10\,\%\), теплота парообразования получилась ниже — наклон касательной в точке излома читается с ошибкой \(15\text{--}20\,\%\), к тому же пренебрегается испарением с поверхности до кипения.

Ответ: \(c\approx2{,}6\cdot10^3\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\),  \(L\approx6\cdot10^5\text{ Дж/кг}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.