Шар с грузом на нити

Когда шар поднимется на высоту \(l\), нить натянется, и грузу придётся мгновенно набрать скорость. Что сохраняется при таком рывке, если нить абсолютно жёсткая? После рывка оба тела падают с одним и тем же ускорением — как движется груз относительно шара?

\(t=\dfrac{v_0-\sqrt{v_0^2-2gl}}{g}+\dfrac{l}{\sqrt{v_0^2-2gl}}\);  \(h=\dfrac{4l}{3}-\dfrac{g\,l^2}{2\,(v_0^2-2gl)}\) (при \(v_0^2>\tfrac{19}{8}\,gl\)).

Что происходит. Груз \(M\) лежит на земле в точке бросания, шар \(2M\) летит вверх и тянет за собой слабину нити. Когда шар поднимется на высоту \(l\), нить натягивается — происходит рывок. Нить абсолютно жёсткая, то есть не растягивается и не поглощает энергию, поэтому рывок — упругий удар шара с грузом через нить. После него груз летит быстрее шара и догоняет его — они сталкиваются. Главная идея — три этапа: свободный полёт до рывка, сохранение импульса и энергии за время рывка, затем равномерное по скорости сближение.

Обозначения. Ось \(y\) направим вертикально вверх, начало — в точке бросания. \(v_1\) — скорость шара в момент рывка, \(u_1\) и \(u_2\) — скорости шара и груза сразу после рывка, \(t_1\) — время полёта до рывка, \(\tau\) — время от рывка до столкновения.

1. Полёт до рывка. До рывка на шар действует только сила тяжести (нить провисает и не тянет). Шар равноускоренно движется с ускорением \(-g\) и в момент рывка находится на высоте \(l\): \[v_1^2=v_0^2-2gl,\qquad t_1=\frac{v_0-v_1}{g}.\] Условие \(l<v_0^2/2g\) нужно именно для этого: шар долетает до высоты \(l\), и \(v_1\) определено.

2. Рывок. Сила натяжения нити во время рывка огромна по сравнению с \(2Mg\) и \(Mg\), а сам рывок короткий, поэтому тяжестью за это время пренебрегаем: импульс системы «шар + груз» в проекции на ось \(y\) сохраняется (нить — внутренняя связь; земля груз не держит, он отрывается вверх). Закон сохранения энергии системы «шар + груз» за время рывка выполняется, потому что нить не растягивается и энергия не теряется: \[2Mv_1=2Mu_1+Mu_2,\qquad \frac{2Mv_1^2}{2}=\frac{2Mu_1^2}{2}+\frac{Mu_2^2}{2}.\] Из первого уравнения \(u_2=2(v_1-u_1)\). Второе даёт \(2(v_1-u_1)(v_1+u_1)=u_2^2\); подставляем \(u_2\) и сокращаем на \(2(v_1-u_1)\ne0\): \[v_1+u_1=u_2=2(v_1-u_1)\quad\Rightarrow\quad u_1=\frac{v_1}{3},\qquad u_2=\frac{4v_1}{3}.\] Относительная скорость сближения груза с шаром \(u_2-u_1=v_1\) — та же, что была до рывка, как при упругом ударе.

Обратите внимание: слова <<нить абсолютно жёсткая>> — и есть указание на упругий рывок. Если бы нить была нерастяжимой, но неупругой, скорости сравнялись бы (\(u_1=u_2\)), тела летели бы вместе, и вопрос о столкновении потерял бы смысл.

3. Сближение. Сразу после рывка груз на земле, шар на высоте \(l\) над ним. Оба тела дальше движутся с одним ускорением \(-g\), поэтому их относительная скорость не меняется и равна \(v_1\): груз нагоняет шар с постоянной скоростью. Расстояние \(l\) он пройдёт за \[\tau=\frac{l}{v_1}.\] Нить при этом провисает и не мешает.

4. Время и высота столкновения. Полное время от броска: \[t=t_1+\tau=\frac{v_0-\sqrt{v_0^2-2gl}}{g}+\frac{l}{\sqrt{v_0^2-2gl}}.\] Высоту столкновения находим по движению шара после рывка (он стартует с высоты \(l\) со скоростью \(u_1=v_1/3\)): \[h=l+u_1\tau-\frac{g\tau^2}{2}=l+\frac{l}{3}-\frac{g\,l^2}{2v_1^2}=\frac{4l}{3}-\frac{g\,l^2}{2\,(v_0^2-2gl)}.\] Так же по грузу: \(h=u_2\tau-g\tau^2/2=\tfrac{4}{3}l-g\tau^2/2\) — совпало.

Обратите внимание: формула для \(h\) годится, пока \(h>0\), то есть при \(v_1^2>3gl/8\), или \(v_0^2>\tfrac{19}{8}\,gl\). При меньшей скорости груз успел бы упасть на землю до встречи с шаром, и ответ был бы другой.

График построен по формулам при \(v_0=10\text{ м/с}\), \(l=2\text{ м}\), \(g=10\text{ м/с}^2\): \(v_1=7{,}75\text{ м/с}\), \(t_1=0{,}225\text{ с}\), \(\tau=0{,}258\text{ с}\), \(t=0{,}484\text{ с}\), \(h=2{,}33\text{ м}\). Груз стоит до рывка, затем быстро набирает высоту; в точке встречи кривые сходятся.

Проверка. Размерность: \(v_0^2-2gl\) — м\(^2\)/с\(^2\), поэтому \(t\) в секундах, а \(h\) в метрах: \(gl^2/v_1^2\) — метры. Предел \(l\to0\): рывок происходит у самой земли, \(t\to0\) и \(h\to0\) — тела встречаются сразу, как и должно быть. Предел большой скорости \(v_0\to\infty\): \(\tau\to0\), \(h\to 4l/3\) — за пренебрежимо малое время груз успевает пройти \(l\) вверх вслед за шаром, шар при этом поднялся ещё на \(l/3\).

Ответ: \(t=\dfrac{v_0-\sqrt{v_0^2-2gl}}{g}+\dfrac{l}{\sqrt{v_0^2-2gl}}\),  \(h=\dfrac{4l}{3}-\dfrac{g\,l^2}{2\,(v_0^2-2gl)}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.