Заполнение пустого сосуда

Выделим мысленно ту порцию газа, которая в итоге окажется в сосуде. Вакуум она не толкает, но её толкает остальной газ снаружи. Чему равна работа этих сил и куда она уходит, если теплообмена нет?

\(T=\dfrac{5}{3}\,T_0\).

Что происходит. Газ из атмосферы втекает в пустой сосуд. Он не расширяется в пустоту сам по себе: его вталкивает остальной газ снаружи, давление которого \(p_0\) остаётся постоянным — резервуар огромный. Эта работа идёт на увеличение внутренней энергии порции, поэтому газ внутри нагревается. Течение прекращается, когда давление в сосуде станет \(p_0\). Главная идея — применить первый закон термодинамики к той порции газа, которая в итоге окажется в сосуде.

Обозначения. \(\nu\) — число молей газа, который в итоге окажется в сосуде; \(V_0\) — объём, который эта порция занимала снаружи (при \(p_0\), \(T_0\)); \(V\) — объём сосуда; \(T\) — конечная температура.

1. Начальное и конечное состояния порции. В начале порция занимает объём \(V_0\) снаружи при \(p_0\) и \(T_0\): \(p_0V_0=\nu RT_0\). В конце она заполняет сосуд при давлении \(p_0\) и температуре \(T\): \(p_0V=\nu RT\).

2. Работа над порцией. Остальной газ снаружи продвигает порцию в сосуд. Давление этого газа на порцию постоянно и равно \(p_0\), а граница порции целиком, шаг за шагом, проходит объём \(V_0\). Работа остального газа над порцией \[A=p_0V_0=\nu RT_0 .\] Вакуум порцию не тормозит и работы над ней не совершает.

3. Первый закон термодинамики. Для порции газа: изменение внутренней энергии равно работе внешних сил плюс подведённое тепло. Сосуд теплоизолирован — и стенки, как будем считать, не впитывают тепло, — поэтому \(Q=0\). Внутренняя энергия одноатомного газа \(U=\tfrac32\nu RT\). Течение внутри сосуда бурное, но к концу газ покоится, и вся кинетическая энергия струи перешла в тепловую, значит, она уже учтена в \(U\): \[\frac32\,\nu RT-\frac32\,\nu RT_0=\nu RT_0 .\]

4. Соберём ответ. Сократим \(\nu R\): \[\frac32\,T=\frac52\,T_0\quad\Rightarrow\quad T=\frac53\,T_0 .\] Объём сосуда при этом \(V=V_0\,T/T_0=\tfrac53V_0\): газ в сосуде занимает больше места, чем занимал снаружи.

Обратите внимание: это не свободное расширение газа из закрытого баллона в вакуум — там температура одноатомного газа не меняется, потому что работы никто не совершает. Здесь же газ вталкивают, и работа \(p_0V_0\) идёт на нагрев.

Второй способ. Для газа, втекающего из большого резервуара в пустой сосуд, сохраняется энтальпия единицы массы: \(c_pT_0=c_VT\) (слева — энергия вместе с работой вталкивания, справа — только внутренняя энергия газа в сосуде). Отсюда \(T=\gamma T_0\), где \(\gamma=c_p/c_V=5/3\) для одноатомного газа — тот же ответ.

Проверка. Размерность: \(T\) и \(T_0\) — температуры, отношение \(5/3\) безразмерно. Предел: при \(T_0\to0\) ответ \(T\to0\) — газ без теплового движения не нагреть, как и должно быть. Знак: \(T>T_0\), то есть газ нагревается; работа вталкивания \(A>0\) при \(Q=0\) не может его охладить. Смысл: каждая молекула, влетая, приносит с собой не только тепловую энергию \(\tfrac32 kT_0\), но и долю работы \(kT_0\), совершённой над ней остальным газом, — вместе \(\tfrac52 kT_0\).

Ответ: \(T=\dfrac53\,T_0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.