Скорость струи в вакууме
6/10Газ вытекает адиабатически через малое отверстие из замкнутого сосуда в вакуумное пространство. Постоянное давление газа в сосуде поддерживается перемещением поршня. При этом температура газа в сосуде также не меняется, а его температура вне сосуда из-за адиабатического расширения снижается практически до 0 K. Оцените, пользуясь законом сохранения энергии, скорость газовой струи в вакууме. Температура газа в сосуде \(T\), молярная масса газа \(\mu\), молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении \(c_P\).
К задаче 5.7.1: газ вытекает в пустоту через малое отверстие. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдеяПроследим за одним молем газа от момента, когда он ещё в сосуде, до момента, когда он уже летит в пустоте. Энергии у него два источника: собственная внутренняя энергия и работа поршня, который его выталкивает. В струе температура нулевая — значит, внутренней энергии не осталось совсем, вся она стала кинетической.Приход энергии. Один моль, находясь в сосуде, обладал внутренней энергией
\[ U=c_V\,T . \]Чтобы вытолкнуть этот моль через отверстие, поршень должен «освободить» занимаемый им объём \(V\), проталкивая его при давлении \(P\). Работа поршня
\[ A_{\text{порш}}=P\,V=R\,T . \]Расход энергии. В струе газ летит в пустоте: он ничего не расталкивает (работы против внешнего давления нет) и остыл до нуля, так что внутренней энергии у него не осталось. Вся энергия — кинетическая, \(\dfrac{\mu v^2}{2}\) на моль.
Баланс:
\[ \frac{\mu v^2}{2}=c_VT+RT=(c_V+R)\,T=c_P\,T , \]где мы воспользовались соотношением Майера \(c_P=c_V+R\). Итак,
\[ \boxed{\;v=\sqrt{\frac{2c_PT}{\mu}}\;} \]Стоит запомнить смысл этой формулы: в кинетическую энергию струи переходит не внутренняя энергия газа, а его энтальпия \(H=U+PV=c_PT\). Работа проталкивания \(PV\) — обязательная и часто забываемая часть баланса.
Проверка. Сравним скорость струи со скоростью звука в сосуде \(c=\sqrt{\dfrac{\gamma RT}{\mu}}\). Подставив \(c_P=\dfrac{\gamma R}{\gamma-1}\), получим \[ \frac{v}{c}=\sqrt{\frac{2\gamma R T/((\gamma-1)\mu)}{\gamma RT/\mu}}=\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}} , \] для воздуха (\(\gamma=1{,}4\)) это \(\sqrt5\approx2{,}24\) — то есть предельная скорость истечения примерно в два с четвертью раза больше скорости звука. Числа: воздух при \(T=300\) К, \(c_P=29{,}1\) Дж/(моль·К), \(\mu=0{,}029\) кг/моль дают \(v=\sqrt{2\cdot29{,}1\cdot300/0{,}029}\approx780\) м/с. Порядок правильный: это чуть больше средней тепловой скорости молекул воздуха (\(\approx470\) м/с), и понятно почему — хаотическое движение здесь превращается в направленное, да ещё поршень добавляет работу.Ответ\(v=\sqrt{\dfrac{2c_PT}{\mu}}\).Задача 5.7.2
6/10Определите скорость адиабатического истечения смеси двухатомных газов с молярной массой \(\mu_1\) и \(\mu_2\). Число молекул первого газа в \(k\) раз больше числа молекул второго газа. Температура смеси \(T\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдеяГлавное физическое соображение: в струе оба газа летят с одной и той же скоростью. Молекулы всё время сталкиваются друг с другом и не дают лёгкому компоненту «убежать» вперёд, а тяжёлому — отстать. Поэтому энергия считается для всей смеси разом, а масса — суммарная.Возьмём порцию смеси, содержащую \(k\) молей первого газа и 1 моль второго (это как раз отношение чисел молекул \(k:1\)).
Масса порции:
\[ m=k\mu_1+\mu_2 . \]Энергия порции. По задаче 5.7.1 каждый моль отдаёт в струю свою энтальпию \(c_PT\). Оба газа двухатомны, значит \(c_P=\dfrac72R\) у каждого, а молей всего \(k+1\):
\[ E=(k+1)\,\frac72RT . \]Баланс:
\[ \frac{(k\mu_1+\mu_2)\,v^2}{2}=\frac72\,(k+1)RT \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;v=\sqrt{\frac{7(k+1)RT}{k\mu_1+\mu_2}}\;} \]Проверка. Если газы одинаковы, \(\mu_1=\mu_2=\mu\), формула даёт \(v=\sqrt{\dfrac{7(k+1)RT}{(k+1)\mu}}=\sqrt{\dfrac{7RT}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{2c_PT}{\mu}}\) — в точности результат задачи 5.7.1. Другой предел: \(k\to\infty\) (второго газа исчезающе мало) даёт \(v\to\sqrt{7RT/\mu_1}\) — скорость определяется только газом-носителем, а редкая примесь просто летит вместе со всеми. Именно на этом основан приём, о котором пойдёт речь в следующей задаче.Ответ\(v=\sqrt{\dfrac{7(k+1)RT}{k\mu_1+\mu_2}}\).Задача 5.7.3
6/10Экспериментатору нужен пучок атомов ксенона, скорость которых равна 1 км/с. Атомная масса ксенона 131.
а. При какой температуре газа, адиабатически истекающего в вакуум, можно получить такой пучок?
б. Какую скорость могут приобрести атомы ксенона при истечении в вакуум смеси водорода и малого количества ксенона, находящихся при комнатной температуре?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдеяПункт «а» — прямое применение формулы \(v=\sqrt{2c_PT/\mu}\) к чистому ксенону. Пункт «б» — тот самый фокус из задачи 5.7.2: тяжёлую примесь разгоняет лёгкий газ-носитель, и она приобретает его скорость истечения, а не свою.а) Чистый ксенон
Ксенон одноатомен, \(c_P=\dfrac52R\), \(\mu=131\) г/моль \(=0{,}131\) кг/моль. Из \(v=\sqrt{\dfrac{2c_PT}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{5RT}{\mu}}\):
\[ T=\frac{\mu v^2}{5R}=\frac{0{,}131\cdot(10^3)^2}{5\cdot8{,}31}=\frac{1{,}31\cdot10^5}{41{,}6}\approx3{,}15\cdot10^3\ \text{К}. \]То есть газ надо нагреть примерно до 3150 К — температуры, при которой плавится вольфрам. Для лабораторной установки это тяжело: сопло и подводящие трубки долго такого не выдержат.
б) Ксенон в струе водорода
Пусть ксенона исчезающе мало. Тогда вся энергия и вся масса струи — водородные, и скорость струи (а с ней и скорость атомов ксенона, которые несёт поток) равна
\[ v=\sqrt{\frac{2c_P^{\,\mathrm{H_2}}\,T}{\mu_{\mathrm{H_2}}}}=\sqrt{\frac{7RT}{\mu_{\mathrm{H_2}}}} =\sqrt{\frac{7\cdot8{,}31\cdot293}{0{,}002}}=\sqrt{8{,}5\cdot10^6}\approx2{,}9\cdot10^3\ \text{м/с}. \]Около 3 км/с — втрое больше требуемого, и это при комнатной температуре! Никакого нагрева не нужно.
Проверка. Почему разница такая огромная? Скорость истечения \(v\propto\sqrt{T/\mu}\), а водород легче ксенона в \(131/2\approx65\) раз. Значит, при одной и той же температуре водородная струя быстрее ксеноновой в \(\sqrt{65}\approx8\) раз (с поправкой на \(c_P\): \(\sqrt{7/5}\) — ещё чуть больше). Проверим прямо: чистый ксенон при 293 К дал бы \(v=\sqrt{5\cdot8{,}31\cdot293/0{,}131}=\sqrt{9{,}3\cdot10^4}\approx305\) м/с; наши 2900 м/с в водороде — в 9,5 раза больше. Именно так и делают в реальных экспериментах: приём называется «посев» тяжёлой примеси в лёгкий газ-носитель (seeded beam). Обратим внимание, что при этом ксенон и разгоняется, и одновременно охлаждается почти до нуля — то, что нужно для чистого моноскоростного пучка.Ответа) \(T\approx3150\) К; \(\ \) б) \(v\approx3\) км/с.Скорость истечения из сопла ракеты
6/10Определите максимальную скорость истечения газа из сопла ракеты, если тяга ракеты создаётся в результате реакций:
а) \(2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}=2\mathrm{H_2O}+483\) кДж/моль;
б) \(2\mathrm{Al}+\tfrac32\mathrm{O_2}=\mathrm{Al_2O_3}+1{,}65\) МДж/моль;
в) \(\mathrm{Be}+\tfrac12\mathrm{O_2}=\mathrm{BeO}+610\) кДж/моль.▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдеяМаксимум достигается, когда вся выделившаяся химическая энергия превращается в кинетическую энергию направленного движения продуктов, то есть когда газ расширяется в сопле до нулевой температуры. Поэтому просто делим энергию реакции на массу продуктов.Общая формула: если в реакции выделяется энергия \(Q\), а масса образовавшихся продуктов \(m\), то
\[ \frac{m v^2}{2}=Q\qquad\Longrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{2Q}{m}} . \]Аккуратно считаем массу продуктов для реакции в том виде, как она записана.
Продукт \(m\) \(Q\) \(v=\sqrt{2Q/m}\) а 2 моль \(\mathrm{H_2O}\) \(2\cdot18=36\) г 483 кДж \(\sqrt{\dfrac{2\cdot4{,}83\cdot10^5}{0{,}036}}\approx5{,}2\) км/с б 1 моль \(\mathrm{Al_2O_3}\) \(2\cdot27+3\cdot16=102\) г 1,65 МДж \(\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}65\cdot10^6}{0{,}102}}\approx5{,}7\) км/с в 1 моль \(\mathrm{BeO}\) \(9+16=25\) г 610 кДж \(\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}1\cdot10^5}{0{,}025}}\approx7{,}0\) км/с Видно, что выигрывает не та реакция, где выделяется больше энергии, а та, где больше энергия на килограмм продуктов. Бериллий побеждает именно из-за лёгкости оксида.
Проверка. Это оценка сверху, и реальные двигатели до неё не дотягивают. Во-первых, газ никогда не расширяется до \(T=0\): в сопле остаётся конечная температура, и часть энергии уносится «тепловой». Во-вторых, у пар «в» и «б» продукты (\(\mathrm{Al_2O_3}\), \(\mathrm{BeO}\)) при этих температурах конденсируются в капли и частицы — они не расширяются, как газ, и просто балласт. Поэтому у реальной пары водород—кислород скорость истечения \(\approx4{,}5\) км/с (85 % от нашей оценки), а алюминий добавляют в твёрдое топливо не ради удельного импульса, а ради плотности. Проверим порядок иначе: 483 кДж на 36 г — это \(13{,}4\) МДж/кг; \(v=\sqrt{2\cdot13{,}4\cdot10^6}=5{,}2\cdot10^3\) м/с ✓.Ответа) \(v\approx5{,}2\) км/с; б) \(v\approx5{,}7\) км/с; в) \(v\approx7\) км/с.Расход топлива при старте
6/10Температура горения химического топлива в ракетном двигателе \(T=3000\) K, средняя молярная масса продуктов сгорания \(\mu=30\) г/моль. Истечение продуктов сгорания происходит адиабатически. Молярная теплоёмкость продуктов сгорания \(c_P=33{,}4\) Дж/(моль·K). Давление газа на выходе из ракеты много меньше давления газа в ракете. Определите минимальный массовый расход топлива, обеспечивающий старт с Земли ракеты массы \(M=1000\) т.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдеяДве вещи: скорость истечения по формуле задачи 5.7.1 (давление на выходе много меньше, чем внутри, — значит, расширение практически полное, до нулевой температуры) и реактивная тяга \(F=\dot m\,v\). Ракета оторвётся от Земли, когда тяга сравняется с весом.Скорость истечения.
\[ v=\sqrt{\frac{2c_PT}{\mu}}=\sqrt{\frac{2\cdot33{,}4\cdot3000}{0{,}030}}=\sqrt{6{,}68\cdot10^{6}}\approx2{,}6\cdot10^3\ \text{м/с}. \]Тяга. За время \(\Delta t\) двигатель выбрасывает массу \(\Delta m=\dot m\,\Delta t\) со скоростью \(v\); её импульс \(\Delta m\,v\) равен импульсу силы \(F\,\Delta t\), откуда
\[ F=\dot m\,v . \]Условие старта: \(F\ge Mg\), минимальный расход
\[ \dot m=\frac{Mg}{v}=\frac{10^6\cdot9{,}8}{2{,}6\cdot10^3}\approx3{,}8\cdot10^3\ \frac{\text{кг}}{\text{с}}=3{,}8\ \frac{\text{т}}{\text{с}} . \]Проверка. Сопоставим с реальностью. Первая ступень «Сатурна-5»: стартовая масса около 2900 т, расход топлива примерно 13 т/с, скорость истечения \(\approx2{,}6\) км/с — тяга \(13\cdot10^3\cdot2600\approx34\) МН при весе \(2900\cdot10^3\cdot9{,}8\approx28\) МН. Отношение тяги к весу \(1{,}2\), то есть расход примерно на 20 % выше «минимального» — иначе ракета висела бы на месте. Наша оценка для 1000 т даёт \(3{,}8\) т/с, что в пересчёте на 2900 т составило бы 11 т/с — тот же порядок. Заметим ещё, что при таком расходе тысячетонная ракета «сгорела» бы целиком за \(10^6/3800\approx260\) с — характерное время работы первой ступени как раз около этого.Ответ\(\dot m=\dfrac{Mg}{\sqrt{2c_PT/\mu}}\approx3{,}8\) т/с.Задача 5.7.6
6/10Газ адиабатически вытекает из сосуда через трубку. Температура газа в сосуде \(T_1\), давление \(P_1\). На выходе из трубки давление газа \(P_2\). Определите скорость газа на выходе из трубки. Молярная масса газа \(\mu\), показатель адиабаты \(\gamma\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдеяТеперь газ расширяется не в пустоту, а до конечного давления \(P_2\), поэтому он остывает не до нуля, а до температуры \(T_2\), которую даёт уравнение адиабаты. Энергетический баланс тот же, что в задаче 5.7.1, только в струе остаётся ненулевая энтальпия: в кинетическую энергию переходит убыль энтальпии.Баланс энергии для одного моля (сравните с задачей 5.7.1, где было \(T_2=0\)):
\[ \frac{\mu v^2}{2}=c_P\,(T_1-T_2). \]Конечная температура. Адиабата в переменных \(P,T\):
\[ \frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} . \]Теплоёмкость через показатель адиабаты: \(c_P=\dfrac{\gamma R}{\gamma-1}\). Подставляем:
\[ \frac{\mu v^2}{2}=\frac{\gamma R}{\gamma-1}\,T_1\left[1-\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\right] , \] \[ \boxed{\;v=\left\{\frac{2\gamma RT_1}{\mu(\gamma-1)}\left[1-\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\right]\right\}^{1/2}\;} \]Проверка. Два предела. Если \(P_2=P_1\) (ничего не течёт) — квадратная скобка равна нулю, \(v=0\) ✓. Если \(P_2\to0\) (истечение в вакуум) — скобка стремится к единице и \[ v\to\sqrt{\frac{2\gamma RT_1}{\mu(\gamma-1)}}=\sqrt{\frac{2c_PT_1}{\mu}} , \] то есть ровно ответ задачи 5.7.1 ✓. Эта формула называется формулой Сен-Венана — Ванцеля и используется при расчёте всех сопел, от паровых турбин до пульверизатора.Ответ\(v=\left\{\dfrac{2\gamma RT_1}{\mu(\gamma-1)}\left[1-\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right]\right\}^{1/2}\).Задача 5.7.7
6/10Из баллона, содержащего гелий при давлении 1 МПа, вытекает струя, давление газа в которой 0,1 МПа. Температура газа в баллоне 300 K. Определите температуру и скорость гелия в струе.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдеяПрямая подстановка в формулы предыдущей задачи. Гелий одноатомен: \(\gamma=\dfrac53\), \(\dfrac{\gamma-1}{\gamma}=\dfrac25\), \(c_P=\dfrac52R\), \(\mu=4\) г/моль.Температура в струе.
\[ T_2=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5}=300\cdot\left(\frac{0{,}1}{1}\right)^{0{,}4}=300\cdot10^{-0{,}4}=300\cdot0{,}398\approx120\ \text{К}. \]Скорость.
\[ \frac{\mu v^2}{2}=c_P(T_1-T_2)=\frac52R\,(300-120)=2{,}5\cdot8{,}31\cdot180\approx3740\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}} , \] \[ v=\sqrt{\frac{2\cdot3740}{0{,}004}}=\sqrt{1{,}87\cdot10^6}\approx1{,}37\cdot10^3\ \text{м/с}. \]Проверка. Сравним с предельной скоростью истечения этого же гелия в вакуум: \(v_{\max}=\sqrt{5RT_1/\mu}=\sqrt{5\cdot8{,}31\cdot300/0{,}004}=\sqrt{3{,}12\cdot10^6}\approx1770\) м/с. Наши 1370 м/с — это \(77\,\%\) от предела, и такое соотношение соответствует «недорасширению» до 0,1 МПа: остаточная энтальпия \(T_2/T_1=0{,}4\) от начальной, а скорость \(\propto\sqrt{1-0{,}4}=0{,}775\) ✓. Скорость звука в струе \(\sqrt{\gamma RT_2/\mu}=\sqrt{1{,}67\cdot8{,}31\cdot120/0{,}004}\approx645\) м/с, то есть струя сверхзвуковая (число Маха \(\approx2{,}1\)) — как и должно быть, ведь для \(P_1/P_2=10\) обычное сужающееся отверстие «запирается», и такую скорость даёт лишь расширяющееся сопло Лаваля.Ответ\(T\approx120\) К, \(\ v\approx1370\) м/с.Задача 5.7.8
6/10Воздух, сжатый в большом баллоне при температуре \(0\ {}^\circ\)C, вытекает при атмосферном давлении через трубку со скоростью 400 м/с. Найдите температуру воздуха в струе. Чему равно давление воздуха в баллоне?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдеяЗадача «наоборот»: по скорости находим охлаждение, а по охлаждению — во сколько раз пришлось сбросить давление. Воздух двухатомен: \(\gamma=1{,}4\), \(c_P=\dfrac72R=29{,}1\) Дж/(моль·К), \(\mu=0{,}029\) кг/моль.Температура струи. Из \(\dfrac{\mu v^2}{2}=c_P(T_1-T_2)\):
\[ T_1-T_2=\frac{\mu v^2}{2c_P}=\frac{0{,}029\cdot400^2}{2\cdot29{,}1}=\frac{4640}{58{,}2}\approx80\ \text{К}, \] \[ T_2=273-80=193\ \text{К}\;(\approx-80\ {}^\circ\text{C}). \]Давление в баллоне. Адиабата: \(\dfrac{T_1}{T_2}=\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\), то есть
\[ P_1=P_2\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}=10^5\cdot\left(\frac{273}{193}\right)^{3{,}5}=10^5\cdot1{,}414^{3{,}5}. \]Считаем степень: \(\ln1{,}414=0{,}3466\), \(3{,}5\cdot0{,}3466=1{,}213\), \(e^{1{,}213}=3{,}36\). Значит
\[ P_1\approx3{,}4\cdot10^5\ \text{Па}\approx0{,}33\ \text{МПа}. \]Проверка. Пройдём путь в обратную сторону: при \(P_1/P_2=3{,}36\) имеем \(T_2=273\cdot3{,}36^{-2/7}=273\cdot e^{-0{,}286\cdot1{,}212}=273\cdot e^{-0{,}347}=273\cdot0{,}707=193\) К ✓, и тогда \(v=\sqrt{2\cdot29{,}1\cdot80/0{,}029}=\sqrt{1{,}605\cdot10^5}\approx400\) м/с ✓. Заодно полезное наблюдение: скорость звука в струе \(\sqrt{1{,}4\cdot8{,}31\cdot193/0{,}029}\approx278\) м/с, то есть поток сверхзвуковой (M \(\approx1{,}44\)). Отсюда, кстати, и знаменитый «холод» из пневмоинструмента: \(-80\ {}^\circ\)C в струе — уже вполне достаточно, чтобы намораживать иней на выхлопе.Ответ\(T\approx193\) К; \(\ P\approx0{,}33\) МПа.Задача 5.7.9
6/10Газ при давлении \(P\) и температуре \(T\) протекает со скоростью \(v\) через гладкую трубку сечения \(S\). Когда газ проходит сквозь проволочную сетку, перекрывающую трубку и оказывающую пренебрежимо малое сопротивление потоку, он нагревается. Приобретаемая газом мощность равна \(q\). Определите скорость газа за проволочной сеткой. Чему равна сила давления газа на сетку? Молярная масса газа \(\mu\), показатель адиабаты \(\gamma\).
К задаче 5.7.9: нагрев потока на сетке. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдеяСетка — это «разрыв» в потоке. Через него надо протащить три закона: сохранение массы, сохранение энергии и закон изменения импульса. Слова «сетка не оказывает сопротивления потоку» означают, что она не создаёт перепада давления: \(P'=P\). Тогда первые два закона дают скорость, а третий — искомую силу.Обозначим величины за сеткой штрихом. Плотность газа перед сеткой
\[ \rho=\frac{P\mu}{RT} . \]1. Сохранение массы. Сечение всюду одно и то же, поэтому
\[ \rho v=\rho' v' . \tag{1} \]2. Постоянство давления. \(P'=P\). Вместе с (1) и уравнением состояния это сразу даёт связь температур:
\[ \frac{T'}{T}=\frac{P'/\rho'}{P/\rho}=\frac{\rho}{\rho'}=\frac{v'}{v} . \tag{2} \]Газ нагрелся ровно во столько раз, во сколько разогнался. Это понятно и без формул: при постоянном давлении объём растёт пропорционально температуре, а раз труба не расширяется — растёт скорость.
3. Сохранение энергии. Через сетку в секунду проходит масса \(\dot m=\rho v S\). На каждый килограмм приходится добавка энергии \(q/\dot m\). Удельная энтальпия газа
\[ h=\frac{c_PT}{\mu}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\cdot\frac{RT}{\mu}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\cdot\frac{P}{\rho} , \]и баланс «энтальпия плюс кинетическая энергия» для установившегося потока даёт
\[ h'+\frac{v'^2}{2}=h+\frac{v^2}{2}+\frac{q}{\rho vS} . \tag{3} \]По (2) \(h'=h\,\dfrac{v'}{v}\). Обозначим \(w=\dfrac{v'}{v}\) и поделим (3) на \(v^2\):
\[ \beta w+\frac{w^2}{2}=\beta+\frac12+\tilde q,\qquad \beta\equiv\frac{h}{v^2}=\frac{\gamma P}{(\gamma-1)\rho v^2},\quad \tilde q\equiv\frac{q}{\rho Sv^3} . \]Это квадратное уравнение \(w^2+2\beta w-(2\beta+1+2\tilde q)=0\); его корень, переходящий в \(w=1\) при \(\tilde q=0\), равен
\[ \boxed{\;\frac{v'}{v}=\sqrt{(\beta+1)^2+2\tilde q}-\beta\;},\qquad \beta=\frac{\gamma P}{(\gamma-1)\rho v^2},\quad \tilde q=\frac{q}{\rho Sv^3} . \]В «размерном» виде это то же самое:
\[ v'=\frac{1}{v}\left[\sqrt{\bigl(h+v^2\bigr)^2+\frac{2vq}{\rho S}}-h\right],\qquad h=\frac{\gamma RT}{\mu(\gamma-1)} . \]4. Сила. Секундный импульс потока вырос с \(\dot m v\) до \(\dot m v'\), а давления по обе стороны сетки одинаковы и взаимно уравновешиваются. Значит, недостающий импульс газу передала именно сетка:
\[ F=\dot m\,(v'-v)=\boxed{\;\rho S v\,(v'-v)\;},\qquad \rho=\frac{P\mu}{RT} . \]По третьему закону Ньютона газ давит на сетку с такой же по модулю силой, направленной против потока: сетку сносит назад.
Проверка. При \(q=0\): \(w=\sqrt{(\beta+1)^2}-\beta=1\), скорость не меняется и \(F=0\) ✓. При \(q\;{\gt}\;0\) корень растёт, \(w\;{\gt}\;1\) — газ разгоняется, что и должно быть: нагретый при постоянном давлении газ расширяется, а деваться ему в трубе постоянного сечения некуда, кроме как ускориться.
Числовой пример: воздух, \(P=10^5\) Па, \(T=300\) К (\(\rho=1{,}16\) кг/м\(^3\)), \(v=173\) м/с, \(S=100\) см\(^2\), \(q=6\) кВт. Тогда \(\dot m=\rho vS=2{,}0\) кг/с, \(h=3{,}0\cdot10^5\) м\(^2\)/с\(^2\), \(\beta=10{,}0\), \(\tilde q=0{,}10\); \(w=\sqrt{121{,}2}-10=1{,}009\), то есть \(v'=175\) м/с и \(F=2{,}0\cdot1{,}6\approx3{,}2\) Н. Проверим по температуре: \(T'=Tw=302{,}7\) К, прирост энтальпии \(\dot m c_P\Delta T/\mu=2{,}0\cdot29{,}1\cdot2{,}7/0{,}029\approx5{,}4\) кДж/с, прирост кинетической энергии \(\dot m(v'^2-v^2)/2\approx0{,}6\) кДж/с; сумма \(6{,}0\) кВт \(=q\) ✓.
Расхождение с задачником. В ответах приведена формула \[ v'=\frac{v}{1+\gamma}\left[1-\frac{P}{\rho v^2}+\sqrt{\left(\gamma+\frac{P}{\rho v^2}\right)^{2}-\frac{2(\gamma^2-1)q}{\rho Sv^3}}\right] . \] При \(q=0\) она правильно даёт \(v'=v\), но при \(q\;{\gt}\;0\) подкоренное выражение уменьшается, то есть газ, по этой формуле, от нагрева замедляется. Это противоречит законам сохранения: для тех же чисел (\(\gamma=1{,}4\), \(P/\rho v^2=2{,}86\), \(q/\rho Sv^3=0{,}1\)) она даёт \(v'/v=0{,}991\), и такая тройка \((v',\rho',P')\) не удовлетворяет ни уравнению энергии, ни уравнению импульса. Знак «минус» под корнем, по-видимому, опечатка. Любопытно, что множитель \(1/(1+\gamma)\) и комбинация \(2(\gamma^2-1)q/(\rho Sv^3)\) отвечают другой модели — когда сетка вообще не передаёт газу импульс, и вместо \(P'=P\) выполняется \(P+\rho v^2=P'+\rho'v'^2\). В этой модели аккуратный расчёт даёт \[ \frac{v'}{v}=\frac{\gamma\left(1+\dfrac{P}{\rho v^2}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{\gamma P}{\rho v^2}-1\right)^{2}-\dfrac{2(\gamma^2-1)q}{\rho Sv^3}}}{\gamma+1} , \] что при тех же числах даёт \(v'/v=1{,}013\) — снова ускорение. Но тогда сила на сетку равна нулю, а перепад давления \(P-P'=\rho v(v'-v)\); формула задачника для силы отвечает как раз этой разности. Так что качественный вывод («газ разгоняется, сетку сносит назад») в обеих моделях один, а печатная формула для \(v'\) требует исправления знака.Ответ\(v'=v\left[\sqrt{(\beta+1)^2+\dfrac{2q}{\rho Sv^3}}-\beta\right]\), где \(\beta=\dfrac{\gamma P}{(\gamma-1)\rho v^2}\), \(\rho=\dfrac{P\mu}{RT}\);
\(F=\rho Sv\,(v'-v)\) — сила направлена по потоку и приложена к газу, на сетку газ действует с такой же силой против потока.Поток тёплого воздуха над площадкой
6/10На горизонтальном участке поля Вася очистил от чистого белого снега площадку с размерами \(1\text{ м} \times 1\text{ м}\). Под лучами весеннего солнца черная земля прогревается и нагревает расположенный над ней воздух. Тепловая мощность, получаемая воздухом от площадки, равна \(W = 0{,}3\) кВт — поскольку солнце зимой находится довольно низко над горизонтом. В безветренную и сухую погоду при температуре воздуха \(T_0 = 273\) К и давлении возле поверхности земли \(p = 10^5\) Па столб теплого воздуха, поднимающийся над площадкой, имеет на высоте \(h = 10\) м температуру \(T_1 = 275\) К и поперечное сечение, равное \(S = 2\text{ м}^2\). Температура окружающего воздуха не зависит от высоты и равна \(T_0\). Молярная масса воздуха \(\mu = 29\) г/моль, его молярная теплоемкость при постоянном давлении равна \(c_p = 7R/2\).
Оцените, с какой скоростью поднимается поток воздуха на высоте \(h\), если процесс уже установился?
Оцените, на какую высоту поднялся бы теплый воздух, если бы отсутствовал теплообмен между теплым воздухом и окружающим его холодным воздухом?
Примечание. Справедлива приближенная формула: \(\Delta\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \dfrac{b\,\Delta a - a\,\Delta b}{b^2}\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ установившемся режиме вся мощность \(W\) уходит на нагрев протекающего через сечение воздуха от \(T_0\) до \(T_1\). Во втором пункте воздух расширяется адиабатически, а давление в нём равно давлению окружающего воздуха на той же высоте.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(u = \dfrac{2T_1 W}{7 S p\,(T_1 - T_0)} \approx 0{,}06\text{ м/с}\); 2) \(h \approx \dfrac{7R\,\Delta T}{2\mu g} \approx 200\text{ м}\).
Оболочка на весах
7/10Оболочку с тонкими и плохо проводящими тепло стенками из нерастяжимого гибкого полиэтилена взвесили, когда в ней не было воздуха, получилось значение массы \(M = 5\) г. Затем с помощью насоса через трубку с небольшим сечением \(S = 0{,}2\text{ см}^2\) за весьма короткое время \(\tau = 5\) с оболочку заполнили до объёма \(V = 10\) литров воздухом, который брался снаружи, и сразу же взвесили получившийся мешок с воздухом на тех же весах. Получили значение \(0{,}95M\). Через большое время, когда установилось тепловое равновесие, результат взвешивания для оболочки с воздухом снова оказался \(M\). Давление воздуха внутри оболочки и вне её всегда равно \(p_0 = 10^5\) Па. Найдите температуру \(T_0\) окружающего воздуха.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоказание весов отличается от массы оболочки на вес вытесненного воздуха, поэтому по разности показаний можно найти плотность воздуха снаружи и внутри. Для нагретого при быстром заполнении газа запишите закон сохранения энергии с учётом кинетической энергии втекающей струи.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(T_0 = (261 \pm 1)\) К.
В потоке
7/10В задаче рассматривается эффект конденсации водяного пара в областях пониженного давления, возникающих при обтекании препятствий потоком влажного воздуха. Вследствие этого эффекта вблизи задней кромки крыльев и вдоль фюзеляжа самолёта может возникать так называемый «паровой конус».
Далее рассматривается стационарное адиабатическое течение невязкого идеального газа. Это подразумевает, что параметры потока в каждой точке неизменны во времени, теплообмен отсутствует, а внутренним трением можно пренебречь.
Числом Маха \(\mathrm{M} = \dfrac{v}{c}\) называется отношение скорости потока \(v\) в некоторой точке к скорости звука \(c\) в той же точке. Скорость звука определяется формулой \[c = \sqrt{\frac{\gamma R T}{\mu}}.\] Воздух считайте идеальным газом с показателем адиабаты \(\gamma = \dfrac{c_P}{c_V} = \dfrac{7}{5}\) и молярной массой \(\mu = 29\text{ г/моль}\). Адиабатический процесс описывается уравнением \(P\rho^{-\gamma} = \text{const}\), где \(P\) — давление, а \(\rho\) — плотность.
Также считайте известным соотношение, выражающее закон сохранения энергии для стационарного потока (уравнение Бернулли для сжимаемого газа): \[\frac{v^2}{2} + \frac{c_P T}{\mu} = \text{const}.\]
Самолёт летит в воздухе с температурой \(T_0 = 295\text{ К}\) и давлением \(P_0 = 101{,}325\text{ кПа}\). В системе отсчёта самолёта скорость набегающего потока вдали от него соответствует числу Маха \(\mathrm{M}_0 = 0{,}35\). При обтекании крыльев и некоторых частей фюзеляжа скорость воздуха увеличивается, достигая максимального значения, соответствующего \(\mathrm{M}_{\max} = 0{,}5\).
При каком максимальном значении относительной влажности \(\varphi_{\max}\) окружающего воздуха образование парового конуса невозможно? Зависимость давления насыщенного пара воды от температуры представлена на рис. 6.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз уравнения Бернулли найдите, как температура зависит от числа Маха, а по адиабате — как давление пара зависит от температуры. Конденсация начинается там, где скорость максимальна, а температура минимальна.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(\varphi_{\max} \approx 69\,\%\) (при \(T_{\min} \approx 287{,}8\text{ К}\)).
Тепловая пушка
5/10Через тепловую пушку идёт стационарный поток воздуха с одинаковой скоростью на входе и выходе, но разными давлениями и диаметрами. Из сохранения потока массы и уравнения состояния найти температуру на выходе, а из первого закона — потребляемую мощность.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газовая батарея
6/10Стационарное течение идеального газа в гладкой трубе постоянного сечения: законы сохранения массы, импульса и энергии дают плотность, скорость и температуру на выходе, а также тепловую мощность, отданную среде.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вакуумная пушка
7/10В последние годы большой интерес у энтузиастов, занимающихся научно-техническим творчеством, вызывает устройство под названием «вакуумная пушка». В полипропиленовой водопроводной трубе 2 (см. рисунок ниже), один конец которой герметично закрыт заглушкой из фольги 3, а другой открыт в атмосферу, разностью давлений ускоряется шарик 1 для игры в пинг-понг. Внутренний диаметр трубы близок к диаметру шарика. Рядом с заглушкой располагается штуцер 4, через который труба соединяется с вакуумным насосом. Таким образом, справа от шарика давление очень низкое, а у открытого конца трубки — давление, близкое к атмосферному, которое равно \(P_0\).
Оказывается, что при достаточно большой длине трубки и качественной откачке, шарик можно разогнать до высокой скорости, так что он легко разорвёт фольгу заглушки и вылетит из трубки. В одном видеоролике, доступном в сети, демонстрируется, как вылетающий из трубки шарик пробивает пустые банки из-под газировки, поставленные на небольшом расстоянии от трубки.
В самой грубой модели предполагается, что слева от шарика давление равно \(P_0 = 10^5\) Па, а справа — равно нулю. Разность давлений не меняется в процессе разгона шарика. Трения между шариком и стенками трубы нет. До какой максимальной скорости \(v_{\max}^{(1)}\) может быть разогнан шарик массой \(M = 2{,}7\) г и диаметром \(d = 40\) мм в трубе длиной \(L = 2\) м? (1 балл)
В более точной модели считается, что под действием постоянной разности давлений ускоряется не только шарик, но и воздух массой \(m(t)\), располагающийся в момент \(t\) в трубе слева от шарика, а также вовлекаются в движение новые порции воздуха из атмосферы. Предлагается считать, что область вблизи левого торца трубы, в которой воздух вовлекается в движение, имеет малый характерный размер, сопоставимый с диаметром трубы. Снаружи трубы вне этой области воздух остаётся неподвижным. Внутри трубы воздух движется со скоростью шарика, а его плотность равна плотности воздуха \(\rho\) снаружи. Диаметр шарика много меньше длины трубы. В начальный момент времени координата \(x\) шарика и его скорость равны нулю.
Определите более точное значение скорости \(v_{\max}^{(2)}\), до которой может быть разогнан шарик тех же размеров, что и в п. 1) задачи, в трубе той же длины. Время разгона в первом приближении можно считать равным времени разгона в п. 1). Температура воздуха и его молярная масса равны: \(T_0 = 293\) К, \(\mu = 29\) г/моль соответственно. (3 балла)
Считая известными только температуру \(T_0 = 293\) К снаружи трубы и молярную массу воздуха \(\mu = 29\) г/моль, определите максимальную скорость, до которой может быть разогнан шарик. Длина трубы предполагается достаточно большой. (3 балла)
Даны параметры: \(M\), \(S\), \(P_0\), \(\rho\), \(\mu\). Получите формулу зависимости координаты шарика от времени \(x(t)\). (5 баллов)
Примечание. Может оказаться полезной формула \(\Delta(x^2) = 2x\Delta x\), справедливая для малых изменений (\(\Delta x \ll x\)) величины \(x\).
Интересно, что группа из американского университета Пёрдью, немного усложнив конструкцию, сумела разогнать шарик до сверхзвуковой скорости (\(v \approx 420\) м/с, в М \(= 1{,}23\) раза больше скорости звука), так что после вылета из трубки шарик для настольного тенниса пробил ракетку для настольного тенниса. Видео можно найти в сети по фразе: «Purdue Technology students build supersonic ping pong gun». В усовершенствованной конструкции на левом конце трубки имеется баллон со сжатым воздухом и сопло Лаваля, через которое воздух поступает в «ствол пушки».
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите второй закон Ньютона для шарика вместе с разгоняемым воздухом в форме изменения импульса за малое время \(\Delta t\): не забудьте, что в движение вовлекается новая масса \(\Delta m\) воздуха, покоившегося до этого.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_{\max}^{(1)} \approx 430\) м/с; 2) \(v_{\max}^{(2)} \approx 199\) м/с, при \(v(t_0) = \dfrac{P_0 S t_0}{m(t_0)+M}\); 3) \(P_0 = \rho u^2\), \(u \approx 294\) м/с; 4) \(x(t) = -\dfrac{M}{\rho S} + \sqrt{\left(\dfrac{M}{\rho S}\right)^2 + \dfrac{P_0 t^2}{\rho}}\).
Реактивная трубка
8/10Открытая трубка с нагревателем-сеточкой разгоняется потоком нагретого воздуха; из расхода воздуха, нагрева при постоянном давлении и изменения энергии найти скорость на пути 20 м.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.