Плот и катер на реке

Плот движется со скоростью течения. Обозначьте времена движения катера «туда» и «обратно» и сравните расстояние, пройденное катером по течению, с суммой пути плота и пути катера назад.

Учитывая, что плот и катер отплыли в одном направлении, изобразим графики движения плота и катера (зависимость расстояния \(x\) до Липовки от времени \(t\)).

Почти все данные для построения данного графика приведены в условии задачи. Неясно только, в какой момент времени катер прибыл в Демушкино. Для ответа на этот вопрос введём обозначения: \(t_1\) — время путешествия катера из Липовки в Демушкино, \(t_2\) — время путешествия от Демушкино до встречи с плотом; \(u\) — скорость течения реки (это скорость плота), \(v\) — скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость катера по течению будет равна \(v+u\), а против течения \(v-u\).

Обозначая расстояния на графике, составим уравнение: \[(v+u)t_1 = u(t_1+t_2) + (v-u)t_2,\] из него найдём, что \(t_1 = t_2\). Следовательно, катер прибыл в Демушкино в момент времени точно посередине между 12.00 и 14.00, то есть в 13.00.

Теперь данных вполне достаточно для построения графиков движения (см. ответ). Из графиков найдём скорость плота, равную скорости течения реки (\(4\text{ км}:2\text{ ч} = 2\text{ км/ч}\)), скорости катера по течению (\(10\text{ км}:1\text{ ч} = 10\text{ км/ч}\)) и против течения (\(6\text{ км}:1\text{ ч} = 6\text{ км/ч}\)). Следовательно, скорость катера в стоячей воде составляет 8 км/ч.

Примечание. Свойство \(t_1 = t_2\) также можно установить, перейдя в систему отсчёта, связанную с плотом. В этой системе отсчёта катер сначала отплывает от плота на некоторое расстояние, а затем с той же по величине скоростью приплывает к плоту. Время плавания «туда» равно при этом времени плавания «обратно».