Многопредельный амперметр

Включение амперметра добавляет в цепь его сопротивление. Чем оно определяется на каждом пределе, если при полном отклонении стрелки на любом пределе напряжение на самом приборе одно и то же?

\(\dfrac1{I_0}=\dfrac{10}{7I_1}-\dfrac{3}{7I_2}\),  \(I_0\approx2{,}97\) мА.

Что происходит. Амперметр, включённый в цепь, добавляет к ней своё сопротивление и уменьшает ток. У многопредельного прибора с отдельным шунтом на каждый предел чувствительный механизм (рамка) один и тот же: при полном отклонении через него течёт один и тот же ток, а напряжение на нём — одно и то же. Поэтому сопротивление всего амперметра на пределе \(I_{\max}\) обратно пропорционально пределу, и два показания дают два уравнения для двух неизвестных. Главная идея — записать закон Ома для полной цепи с амперметром на каждом пределе и исключить неизвестные.

Обозначения. \(\varepsilon\) — ЭДС источника, \(R_{\text{ц}}\) — полное сопротивление остальной цепи (с учётом внутреннего сопротивления источника), \(I_0=\varepsilon/R_{\text{ц}}\) — искомая сила тока без амперметра, \(r_1\) и \(r_2\) — сопротивления амперметра на пределах \(10\) мА и \(3\) мА.

1. Сопротивление амперметра на разных пределах. Рамка с сопротивлением \(r_0\) при полном отклонении пропускает ток \(i_0\), остальное течёт через шунт \(r_{\text{ш}}\), параллельный рамке. Предельный ток \(I_{\max}=i_0\,(1+r_0/r_{\text{ш}})\), а сопротивление прибора — параллельное соединение \(r_0\) и \(r_{\text{ш}}\): \[r=\frac{r_0\,r_{\text{ш}}}{r_0+r_{\text{ш}}}=\frac{r_0}{1+r_0/r_{\text{ш}}}=\frac{r_0\,i_0}{I_{\max}} .\] Числитель \(r_0i_0\) — напряжение на рамке при полном отклонении — одинаков для всех пределов, поэтому \(r\propto1/I_{\max}\): \[\frac{r_2}{r_1}=\frac{10\text{ мА}}{3\text{ мА}}=\frac{10}{3}.\]

2. Закон Ома для полной цепи на каждом пределе. Амперметр включён последовательно, поэтому \[I_0=\frac{\varepsilon}{R_{\text{ц}}},\qquad I_1=\frac{\varepsilon}{R_{\text{ц}}+r_1},\qquad I_2=\frac{\varepsilon}{R_{\text{ц}}+r_2},\qquad r_2=\frac{10}{3}\,r_1 .\] Переходим к обратным величинам: \(\dfrac1{I}\) линейно зависит от сопротивления амперметра: \[\frac1{I_1}=\frac1{I_0}+\frac{r_1}{\varepsilon},\qquad \frac1{I_2}=\frac1{I_0}+\frac{10}{3}\frac{r_1}{\varepsilon}.\] Неизвестными остались \(1/I_0\) и \(r_1/\varepsilon\).

3. Исключение. Вычитаем уравнения: \(\dfrac1{I_2}-\dfrac1{I_1}=\dfrac73\cdot\dfrac{r_1}{\varepsilon}\), значит \(\dfrac{r_1}{\varepsilon}=\dfrac37\Bigl(\dfrac1{I_2}-\dfrac1{I_1}\Bigr)\). Подставляем в первое: \[\frac1{I_0}=\frac1{I_1}-\frac37\Bigl(\frac1{I_2}-\frac1{I_1}\Bigr)=\frac{10}{7I_1}-\frac{3}{7I_2}.\]

4. Число. \(\dfrac1{I_1}=0{,}33898\text{ мА}^{-1}\), \(\dfrac1{I_2}=0{,}34483\text{ мА}^{-1}\): \[\frac1{I_0}=\frac{10}{7}\cdot0{,}33898-\frac37\cdot0{,}34483=0{,}48426-0{,}14778=0{,}33648\text{ мА}^{-1},\qquad I_0\approx2{,}97\text{ мА}.\]

На графике зависимость \(1/I\) от сопротивления амперметра (в единицах \(r_1\)) — прямая; по двум измерениям её продолжают до нулевого сопротивления, где \(1/I=1/I_0\). Ось тока на графике начинается не с нуля: иначе точки сливаются.

Обратите внимание: нельзя брать за ответ ни \(2{,}95\) мА, ни среднее: у каждого показания своя погрешность включения, и она растёт с сопротивлением прибора. Правильная экстраполяция даёт значение выше обоих показаний.

Проверка. Размерность: мА. Предел: если бы \(I_1=I_2\) (амперметр не влиял), получили бы \(I_0=I_1\): \(\frac{10}{7}-\frac37=1\). Знак: \(I_0>I_1>I_2\), потому что показание тем меньше, чем больше сопротивление прибора (\(r_2>r_1\)). Числа согласуются: \(r_1/\varepsilon=\frac37(0{,}34483-0{,}33898)=2{,}5\cdot10^{-3}\) мА\(^{-1}\), и \(1/I_1=0{,}33648+0{,}0025=0{,}33898\). Физический смысл: прибор на пределе \(10\) мА отнимает у тока около \(0{,}7\,\%\), на пределе \(3\) мА — около \(2{,}4\,\%\).

Ответ: \(I_0=\left(\dfrac{10}{7I_1}-\dfrac{3}{7I_2}\right)^{-1}\approx2{,}97\) мА.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.