Цилиндр на двух подставках

Без трения силы реакции направлены по радиусам к центру цилиндра. Как движется центр цилиндра, пока подставка отъезжает с постоянной скоростью? Найдите его ускорение и запишите второй закон Ньютона.

\(N=\dfrac{mg}{\sqrt2}-\dfrac{mv^2}{2R}=\dfrac m2\Bigl(\sqrt2\,g-\dfrac{v^2}{R}\Bigr)\), где \(m\) — масса цилиндра.

Что происходит. Цилиндр лежит на краях двух подставок. Трения нет, поэтому каждая реакция направлена по радиусу к центру цилиндра, момента относительно центра нет, и цилиндр не вращается. Подставка уезжает, точки опоры расходятся, и центр цилиндра, оставаясь вершиной равнобедренного треугольника со сторонами \(R\), опускается. Главная идея — найти ускорение центра чисто геометрически и подставить его во второй закон Ньютона: опускание с ускорением уменьшает силу давления по сравнению со статической.

Обозначения. \(s\) — расстояние между точками опоры (\(s=vt\) от момента, когда подставки почти соприкасались; в нужный момент \(s=R\sqrt2\)). \(\theta\) — угол между радиусом, проведённым к точке опоры, и вертикалью: \(\sin\theta=s/(2R)\), при \(s=R\sqrt2\) получаем \(\theta=45^\circ\). \(y\) — высота центра цилиндра над уровнем краёв подставок. Ось \(y\) вверх, ось \(x\) вдоль движения. \(N_1\) — реакция неподвижной подставки, \(N_2\) — подвижной. Масса цилиндра \(m\) в условии не задана, ответ выражаем через неё.

1. Движение центра. Центр цилиндра равноудалён от обеих точек опоры, поэтому находится над серединой между ними на высоте \[y=\sqrt{R^2-\frac{s^2}{4}} .\] Одна подставка стоит, вторая едет с постоянной скоростью \(v\): \(s=vt\). Середина между точками опоры движется со скоростью \(v/2\) равномерно, значит горизонтальное ускорение центра \(a_x=0\).

2. Вертикальное ускорение. Дифференцируем \(y(t)\) дважды. Первая производная \(\dot y=-\dfrac{v^2t}{4y}=-\dfrac{sv}{4y}\). Вторая (учитываем \(\dot s=v\) и \(\dot y=-sv/(4y)\)): \[\ddot y=-\frac{v^2}{4y}-\frac{sv}{4y^2}\cdot\frac{sv}{4y}=-\frac{v^2}{4y}\Bigl(1+\frac{s^2}{4y^2}\Bigr)=-\frac{v^2R^2}{4y^3},\] потому что \(y^2+s^2/4=R^2\). При \(s=R\sqrt2\) высота \(y=R/\sqrt2\), \(y^3=R^3/(2\sqrt2)\), и \[a_y=-\frac{v^2}{\sqrt2\,R}.\] Знак минус: центр опускается с ускорением, направленным вниз.

3. Второй закон Ньютона для цилиндра в проекции на ось \(x\). Реакции направлены вдоль радиусов: \(N_1\) вверх и влево от точки опоры неподвижной подставки (она справа), \(N_2\) — вверх и вправо. Горизонтальные проекции \(N_1\sin\theta\) и \(N_2\sin\theta\) направлены в противоположные стороны, и \(m a_x=0\), поэтому \(N_1=N_2=N\).

4. Второй закон Ньютона в проекции на ось \(y\). \[2N\cos\theta-mg=m a_y \quad\Rightarrow\quad N=\frac{m(g+a_y)}{2\cos\theta}.\] Подставляем \(\theta=45^\circ\) и \(a_y=-v^2/(\sqrt2R)\): \[N=\frac{m}{\sqrt2}\Bigl(g-\frac{v^2}{\sqrt2\,R}\Bigr)=\frac{mg}{\sqrt2}-\frac{mv^2}{2R}.\] По третьему закону Ньютона цилиндр давит на неподвижную подставку с такой же по модулю силой, направленной вдоль радиуса к точке опоры.

Обратите внимание: считать цилиндр неподвижным нельзя: тогда получилось бы \(N=mg/\sqrt2\), как при \(v\to0\). Центр опускается с ускорением, поэтому реакции меньше статических; поправка \(mv^2/(2R)\) тем заметнее, чем быстрее едет подставка. Давление на подставку — вся сила \(N\) вдоль радиуса, а не её вертикальная составляющая.

Проверка. Размерность: \([mv^2/R]=\text{Н}\). Предел \(v\to0\) даёт \(N=mg/\sqrt2\) — обычное равновесие на двух опорах под углом \(45^\circ\) к вертикали (\(2N\cos45^\circ=mg\)). Другой предел: при \(v^2=\sqrt2\,gR\) получаем \(N=0\), и в этот момент \(a_y=-g\): цилиндр падает свободно и подставки перестают его держать, поэтому ответ верен только при \(v^2\le\sqrt2\,gR\). На графике \(N/mg\) в зависимости от \(s/R\) для \(v^2=gR/2\) (\(N=0{,}46\,mg\) при \(s=R\sqrt2\), отрыв при \(s=R\sqrt3\)).

Ответ: \(N=\dfrac{mg}{\sqrt2}-\dfrac{mv^2}{2R}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.