Скорость точки пересечения обручей

Верхняя точка пересечения лежит на обеих окружностях сразу и всё время находится над серединой отрезка, соединяющего центры. Как движется середина? Как меняется высота точки над линией центров, когда центры расходятся?

\(u=\dfrac{vR}{\sqrt{4R^2-d^2}}\), где \(d\) — расстояние между центрами обручей.

Что происходит. Верхняя точка «пересечения» — не частица, а геометрическая точка: она есть там, где пересекаются две окружности, и перемещается вслед за ними. Поэтому её скорость находим не из закона движения тела, а из геометрии: выражаем положение точки через расстояние \(d\) между центрами и дифференцируем по времени. Главная идея — точка пересечения всегда лежит над серединой отрезка между центрами на высоте, которую даёт теорема Пифагора.

Обозначения. \(O_1\) — центр неподвижного обруча, \(O_2\) — центр движущегося, \(d=O_1O_2\), \(A\) — верхняя точка пересечения, \(M\) — середина \(O_1O_2\), \(y=AM\) — высота точки над линией центров. Обручи тонкие и стоят в одной плоскости, поэтому пересекаются как две окружности при \(d<2R\). Ось \(x\) — вдоль линии центров, по движению второго обруча.

1. Положение точки. Точка \(A\) лежит на обеих окружностях, поэтому \(AO_1=AO_2=R\), и треугольник \(O_1AO_2\) равнобедренный. В нём \(AM\) — высота, и \(M\) — середина основания. По теореме Пифагора для треугольника \(O_1MA\) \[y=\sqrt{R^2-\frac{d^2}{4}} .\] Горизонтальная координата точки \(A\) равна координате середины \(M\).

2. Горизонтальная составляющая скорости. Центр \(O_1\) неподвижен, а \(O_2\) движется со скоростью \(v\), поэтому середина \(M\) движется со скоростью \(v/2\) (среднее скоростей двух концов отрезка). Точка \(A\) всё время над \(M\), значит её горизонтальная скорость равна \(v/2\).

3. Вертикальная составляющая скорости. Расстояние между центрами меняется со скоростью \(\dot d=v\). Дифференцируем \(y=\sqrt{R^2-d^2/4}\) по времени: \[\dot y=\frac{-d\,\dot d/4}{\sqrt{R^2-d^2/4}}=-\frac{d\,v}{4y}.\] Знак минус: пока обручи расходятся, точка \(A\) опускается; если бы они сближались, точка поднималась бы, модуль тот же.

4. Полная скорость. Горизонтальная и вертикальная составляющие перпендикулярны: \[u^2=\Bigl(\frac v2\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dv}{4y}\Bigr)^2=\frac{v^2}{4}\cdot\frac{4y^2+d^2}{4y^2}.\] Но \(4y^2+d^2=4R^2\), поэтому \[u=\frac{v}{2}\cdot\frac{R}{y}=\frac{vR}{\sqrt{4R^2-d^2}} .\]

Обратите внимание: скорость точки пересечения может быть сколь угодно большой — при \(d\to2R\) она растёт без предела. Это ничему не противоречит: точка пересечения не несёт ни вещества, ни энергии, а материальные точки обручей движутся со скоростью \(v\).

Проверка. Размерность: \(vR/\text{м}=v\). Второй способ: точка \(A\) лежит на неподвижной окружности, поэтому её скорость \(\vec u\) направлена по касательной к ней, то есть перпендикулярна радиусу \(O_1A\). Радиус составляет с осью \(x\) угол, у которого \(\cos=d/(2R)\), \(\sin=y/R\), и условие \(\vec u\perp O_1A\) даёт \(u_x\,d/2+u_y\,y=0\), откуда при \(u_x=v/2\) получаем \(u_y=-dv/(4y)\) — то же самое. Предел \(d\to0\): обручи совпадают, \(u\to v/2\) — верхняя точка пересечения движется вместе с серединой между центрами. На графике зависимость \(u/v\) от \(d/2R\).

Ответ: \(u(d)=\dfrac{vR}{\sqrt{4R^2-d^2}}\) при \(0\le d<2R\); в начале \(u=v/2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.