Вода и лёд под поршнем

Пока в смеси есть и вода, и лёд, её температура равна температуре плавления при данном давлении. Откуда смесь берёт теплоту на таяние льда в теплоизолированном цилиндре?

Растает \(\Delta m\approx3{,}6\) г льда; работа внешней силы без учёта сжимаемости \(A\approx0{,}5\) Дж, с учётом сжимаемости \(A\approx3\) Дж (поправка \(\approx2{,}4\) Дж, в несколько раз больше основного вклада).

Что происходит. Пока в смеси есть и вода, и лёд, её температура равна температуре плавления при данном давлении. Давление растёт, температура плавления падает, и смесь обязана остыть до новой температуры. Цилиндр теплоизолирован, поэтому теплоту на охлаждение смесь «отдаёт» сама себе: охлаждаясь, вода и лёд отдают теплоту, на которую тает часть льда. Таяние уменьшает объём (вода плотнее льда), и это даёт работу внешней силы; сжатие самих воды и льда даёт добавку. Главная идея — тепловой баланс внутри смеси и \(A=-\int p\,dV\).

Обозначения. \(\Delta p=p_1-p_0=2{,}4\cdot10^6\) Па, \(\Delta t\) — понижение температуры плавления, \(C=m_{\text{в}}c_{\text{в}}+m_{\text{л}}c_{\text{л}}\) — теплоёмкость смеси, \(\Delta m\) — масса растаявшего льда. Начальное давление \(p_0=10^5\) Па считаем нормальным: смесь при \(0\,^\circ\text{C}\). Температура плавления зависит от давления линейно (для малых изменений).

1. Температура смеси. Понижение температуры плавления пропорционально давлению: \(1\) К на каждые \(14\cdot10^6\) Па, поэтому \[|\Delta t|=\frac{\Delta p}{14\cdot10^6\text{ Па/К}}=\frac{2{,}4\cdot10^6}{14\cdot10^6}\text{ К}=0{,}171\text{ К}.\] В конце смесь находится при \(-0{,}171\,^\circ\text{C}\).

2. Тепловой баланс. Внешнего подвода теплоты нет. Охлаждаясь на \(|\Delta t|\), вода и лёд отдают количество теплоты \(C|\Delta t|\), и оно целиком идёт на плавление массы \(\Delta m\) льда: \[\lambda\,\Delta m=C|\Delta t| \quad\Rightarrow\quad \Delta m=\frac{(m_{\text{в}}c_{\text{в}}+m_{\text{л}}c_{\text{л}})|\Delta t|}{\lambda}=\frac{6{,}3\cdot10^{3}\cdot0{,}171}{3\cdot10^{5}}\text{ кг}\approx3{,}6\cdot10^{-3}\text{ кг}.\] Растаявшая масса составляет \(0{,}4\,\%\) от массы льда, поэтому изменением масс в \(C\) пренебрегаем. Масса растаявшего льда пропорциональна приращению давления: \(\Delta m=k(p-p_0)\), \(k=3{,}6\cdot10^{-3}/2{,}4\cdot10^6=1{,}5\cdot10^{-9}\) кг/Па.

3. Работа при несжимаемых воде и льде. Объём смеси меняется только из-за таяния: масса \(dm\) льда, превращаясь в воду, уменьшает объём на \[dm\Bigl(\frac1{\rho_{\text{л}}}-\frac1{\rho_{\text{в}}}\Bigr)=dm\cdot\frac{1}{\rho_{\text{в}}}\Bigl(\frac1{0{,}9}-1\Bigr)=\frac{dm}{9\rho_{\text{в}}}.\] Давление в этот момент \(p\), внешняя сила при медленном процессе уравновешивает его, и работа над смесью \(dA=-p\,dV=p\,\dfrac{dm}{9\rho_{\text{в}}}=\dfrac{k}{9\rho_{\text{в}}}\,p\,dp\). Суммируем по давлению от \(p_0\) до \(p_1\): \[A=\frac{k}{9\rho_{\text{в}}}\cdot\frac{p_1^2-p_0^2}{2}=\frac{1{,}5\cdot10^{-9}}{9\cdot10^{3}}\cdot3{,}12\cdot10^{12}\text{ Дж}\approx0{,}5\text{ Дж}.\] Полное уменьшение объёма \(\Delta V=\Delta m/(9\rho_{\text{в}})=4\cdot10^{-7}\text{ м}^3\), а среднее давление \(\approx1{,}3\cdot10^{6}\) Па: \(1{,}3\cdot10^{6}\cdot4\cdot10^{-7}\approx0{,}5\) Дж — то же самое.

4. Поправка на сжимаемость. Сжимаемость воды: объём уменьшается на \(1\,\%\) при \(20\cdot10^6\) Па, значит \(\beta_{\text{в}}=0{,}01/(20\cdot10^6)=5\cdot10^{-10}\text{ Па}^{-1}\), для льда \(\beta_{\text{л}}=2{,}5\cdot10^{-10}\text{ Па}^{-1}\). Объёмы \(V_{\text{в}}=m_{\text{в}}/\rho_{\text{в}}=10^{-3}\text{ м}^3\), \(V_{\text{л}}=m_{\text{л}}/(0{,}9\rho_{\text{в}})=1{,}11\cdot10^{-3}\text{ м}^3\) меняются меньше чем на \(1\,\%\), поэтому считаем их постоянными. При сжатии \(dV=-\beta V\,dp\), работа \(dA=-p\,dV=\beta V\,p\,dp\): \[A_{\text{сж}}=(\beta_{\text{в}}V_{\text{в}}+\beta_{\text{л}}V_{\text{л}})\frac{p_1^2-p_0^2}{2}=(5\cdot10^{-13}+2{,}8\cdot10^{-13})\cdot3{,}12\cdot10^{12}\text{ Дж}\approx2{,}4\text{ Дж}.\] Сжатие уменьшает объём на \((7{,}8\cdot10^{-13})\cdot2{,}4\cdot10^{6}\approx1{,}9\cdot10^{-6}\text{ м}^3\), то есть почти в пять раз сильнее, чем таяние. Полная работа \[A\approx0{,}5+2{,}4\approx3\text{ Дж}.\] На количество растаявшего льда сжимаемость влияет слабо: работа \(2{,}4\) Дж превращается во внутреннюю энергию и могла бы нагреть смесь лишь на \(2{,}4/6300\approx4\cdot10^{-4}\) К, то есть на \(0{,}2\,\%\) от \(0{,}171\) К. Масса \(\Delta m\) изменяется менее чем на процент.

Обратите внимание: льда растаяло мало, и кажется, что работа должна быть мала и определяться таянием. Но объёмный эффект таяния (\(4\cdot10^{-7}\text{ м}^3\)) в пять раз меньше эффекта обычного сжатия воды и льда (\(1{,}9\cdot10^{-6}\text{ м}^3\)), поэтому поправка на сжимаемость не поправка, а главный вклад в работу.

Проверка. Размерность: \(\text{Дж/К}\cdot\text{К}/(\text{Дж/кг})=\text{кг}\). Предел \(\Delta p\to0\): растаявшая масса и работа стремятся к нулю. Второй способ для работы — произведение среднего давления на изменение объёма (шаг 3); работа сжатия — площадь под графиком \(p(V)\) той же величины \(\beta V\,p\,dp\). Физический смысл: даже при \(25\) атмосферах температура плавления льда падает всего на \(0{,}17\) К, поэтому тает лишь несколько граммов.

Ответ: \(\Delta m\approx3{,}6\) г; \(A\approx0{,}5\) Дж при несжимаемых воде и льде, с учётом сжимаемости \(A\approx3\) Дж.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.