Рост льда на озере

Лёд на поверхности озера образуется из-за оттока тепла от воды через толщу льда. Процесс этот достаточно медленный, поэтому будем считать, что внутри льда в любой момент времени существует стационарное — линейное — распределение температуры по толщине. Кроме того, будем пренебрегать малым количеством тепла, выделяющимся за счёт постепенного охлаждения нарастающего слоя льда, по сравнению с теплотой кристаллизации воды. Пусть в некоторый момент времени \(t\) слой льда имеет толщину \(x\). Тогда количество теплоты \(\Delta Q\), проходящее за малый промежуток времени \(\Delta t\) через ледяной цилиндр с площадью основания \(S\), равно \[\Delta Q = \eta\dfrac{\Delta T}{x}S\Delta t,\] где \(\Delta T\) — постоянная разность температур между водой и воздухом, \(\eta\) — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности. Эта теплота отнимается от небольшого слоя воды, непосредственно примыкающего ко льду и превращающегося при замерзании в слой льда толщиной \(\Delta x\): \[\Delta Q = \lambda\Delta m = \lambda\rho S\Delta x,\] где \(\rho\) — плотность льда, \(\lambda\) — удельная теплота замерзания воды. Приравнивая записанные выражения, получим, что \[x\Delta x = \Delta\left(\dfrac{x^2}{2}\right) = \dfrac{T_0\eta}{\lambda\rho}\Delta t,\]

откуда \[x = \sqrt{\dfrac{2T_0\eta}{\lambda\rho}}\,t,\] то есть толщина слоя льда увеличивается пропорционально корню квадратному из времени, прошедшего с момента, когда мороз «ударил».

Следовательно, если за время \(\tau_1 = 1\) сутки на озере нарос слой льда толщиной \(d_1 = 3\) см, то слой толщиной \(d_2 = 10\) см нарастёт за время \[\tau_2 = \tau_1\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^2 \approx 11\text{ суток}.\] Заметим, что наращивание слоя льда можно осуществить гораздо быстрее, если насверлить в нём лунки и с помощью насосов поливать водой из озера поверхность льда, находящуюся при низкой температуре. Именно так во время блокады Ленинграда строили «дорогу жизни» на Ладожском озере.