Тепловой нож

Вся теплота Джоуля—Ленца в стержне уходит на плавление слоя льда толщиной в диаметр стержня; для разреза «под углом» перейдите в систему отсчёта бруса и сложите скорости по Галилею.

1) \(t_1=\dfrac{2\lambda\rho\rho^*ab^2}{\pi rU^2}\approx1{,}9\cdot10^2\) с, \(\upsilon\approx5{,}3\) мм/с;  2) \(t_2=\dfrac{a}{\sqrt{\upsilon^2-u^2}}\approx2{,}3\cdot10^2\) с, \(\alpha=\arccos\dfrac{u}{\upsilon}\approx56^\circ\).

а) процесс разрезания бруса представляет собой процесс плавления той области образца, где проходит нож. Следовательно, необходимо расплавить слой льда массой

\[m = \rho \cdot V = \rho a b 2 r \ ,\tag{1}\]

где \(\rho\) - плотность льда. Для этого потребуется количество теплоты

\[Q = \lambda \cdot m = 2 \lambda \rho a b r \ ,\tag{2}\]

которое должно выделится на резисторе сопротивлением

\[R = \rho ^ { * } \frac { l } { S } = \rho ^ { * } \frac { b } { \pi r ^ { 2 } } \ ,\tag{3}\]

где \(\rho ^ { * }\) — удельное сопротивление стали. С учетом закона Джоуля-Ленца можем записать

\[\frac { U ^ { 2 } } { R } t _ { 1 } = \lambda m \quad \Rightarrow \quad \{ ( 1 ) - ( 3 ) \} \quad \Rightarrow \quad \frac { U ^ { 2 } \pi r ^ { 2 } } { \rho ^ { * } b } t _ { 1 } = 2 \lambda \rho a b r \quad .\tag{4}\]

Из (4) находим искомое время

\[t _ { 1 } = \frac { 2 \lambda \rho \rho ^ { * } a b ^ { 2 } } { U ^ { 2 } \pi r } = 1 { , } 9 \cdot 1 0 ^ { 2 } \, \text{с} \ .\tag{5}\]

Соответственно, для скорости движения ножа получаем

\[\upsilon = \frac { a } { t _ { 1 } } = \frac { U ^ { 2 } \pi r } { 2 \lambda \rho \rho ^ { * } b ^ { 2 } } = 5 { , } 3 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \, \frac{\text{м}}{\text{с}} = 5 { , } 3 \, \frac{\text{мм}}{\text{с}} \ .\tag{6}\]

Из анализа (6) видно, что при заданных параметрах системы скорость движения ножа относительно бруса является постоянной величиной и не зависит от толщины \(a\) бруса.

б) Для решения задачи в этом случае перейдем в подвижную систему отсчета, связанную с брусом, т.е. движущуюся влево со скоростью \(\vec{u}\). Согласно преобразованиям Галилея при таком переходе (прямом) скорость ножа относительно земли \(\vec{w}\) связана с относительной скоростью \(\vec{\upsilon}\) следующим образом

\[\vec{\upsilon} = \vec{w} - \vec{u} \ .\tag{7}\]

Поскольку скорость движения ножа относительно бруса (6) не может измениться по модулю (см. пункт а)), то из прямоугольного треугольника скоростей, соответствующего преобразованиям Галилея, найдем скорость \(w\) нормального движения ножа

\[w = \sqrt{ \upsilon ^2 - u^2} = 4{,}4 \frac{\text{мм}}{\text{с}}.\tag{8}\]

При таком способе «распилки» потребуется время

\[t_2 = \frac{a}{w} = 2{,}3 \cdot 10^2 \text{ с}.\tag{9}\]

Угол \(\alpha\) при вершине бруса в этом случае определяется опять же из векторного треугольника скоростей

\[\cos \alpha = \frac{u}{ \upsilon } = 0{,}57 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 56^\circ = 0{,}97 \text{ рад}.\tag{10}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.