Пробирка

Установившееся движение — равновесие силы тяжести, силы Архимеда и вязкого трения, пропорционального скорости. Скорость линейно зависит от степени наполнения, поэтому достаточно двух известных точек.

1) Скорости при удвоении длины приблизительно уменьшаются вдвое;  2) \(v=v_0-(v_0+v_1)\eta\);  3) \(v=v_0-n(v_0+v_1)\eta\), при \(\eta=1\) скорость вниз \(nv_1+(n-1)v_0\).

1. Во время движения на пробирку действуют сила тяжести, выталкивающая сила Архимеда и сила вязкого трения, пропорциональная скорости движения пробирки. Так как сила сопротивления пропорциональна скорости, то по прошествии малого промежутка времени пробирка будет двигаться с постоянной скоростью, которую можно найти из условия равновесия сил (положительное направление — вверх):

\[\rho V g - m_0 g - \rho_1 \eta V g = \beta v,\tag{1}\]

где \(\rho\), \(\rho_1\) — плотности воды и жидкости внутри пробирки, \(V\) — объем пробирки, \(m_0\) — масса пустой пробирки, \(\beta\) — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью пробирки. Основная причина, приводящая к возникновению силы сопротивления — перетекание воды в узком слое между стенками трубки и пробирки, поэтому коэффициент \(\beta\) приблизительно пропорционален длине пробирки. Следовательно, если взять пробирку вдвое большей длины (при прочих равных условиях), то указанные скорости приблизительно уменьшатся в два раза.

2. Из уравнения (1) следует, что скорость установившегося движения пробирки линейно зависит от степени ее наполнения

\[v = A \eta + B,\tag{2}\]

где \(A\), \(B\) — постоянные коэффициенты, которые можно определить из двух известных скоростей. Окончательный вид зависимости скорости от степени наполнения имеет вид

\[v = -(v_0 + v_1)\eta + v_0.\tag{3}\]

3. Из уравнения (1) следует, что коэффициент при \(\eta\), в линейной зависимости вида (2), пропорционален плотности налитой жидкости. Поэтому для другой жидкости зависимость скорости от степени наполнения будет иметь вид

\[v = -n(v_0 + v_1)\eta + v_0.\tag{4}\]

Графики этих зависимостей показаны на рисунке, где обозначена скорость движения пробирки, полностью заполненной другой жидкостью,

\[v'_1 = n v_1 + (n - 1)v_0.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.