Платформа

Запишите координаты платформы и шарика, перейдите к началу отсчёта в точке броска и найдите момент встречи; сравните его с моментом достижения верхней точки.

\(x_1=\dfrac{at^2}{2}\), \(x_2=\dfrac{a\tau^2}{2}+(a\tau+v_0)(t-\tau)-\dfrac{g(t-\tau)^2}{2}\); перемещение \(x_{\text{п}}=\dfrac{2v_0a}{a+g}\left(\tau+\dfrac{v_0}{a+g}\right)\); путь \(S=x_{\text{п}}\) при \(v_0<a\tau\dfrac{g+a}{g-a}\), иначе \(S=\dfrac{(a\tau+v_0)^2}{g}-x_{\text{п}}\).

1. Законы движения платформы \(x_1(t)\) и шарика \(x_2(t)\) имеют вид

\[x_1 = \frac{at^2}{2}\]

\[x_2 = \frac{a\tau^2}{2} + (a\tau + v_0) \cdot (t - \tau) - \frac{g(t - \tau)^2}{2}\tag{1}\]

Здесь начало отсчета времени совмещено со стартом платформы, а начало отсчета вертикальной оси \(X\) находится на поверхности земли. Схематические графики законов движения показаны ниже на рисунке.

Следует отметить, что в данной задаче следует рассмотреть два варианта: - до падения на платформу шарик успевает достичь верхней точки траектории свободного движения; - платформа догоняет шарик, который продолжает двигаться вверх. Для упрощения дальнейших расчетов совместим начало отсчета координат с точкой, в которой был брошен шарик, с этим же моментом свяжем начало отсчета времени. В такой системе отсчета законы движения имеют вид

\[x_1 = a\tau \cdot t + \frac{at^2}{2}\]

\[x_2 = (a\tau + v_0) \cdot t - \frac{gt^2}{2}\tag{2}\]

Определим момент времени падения шарика на платформу \(t_2\), для чего следует решить уравнение \(x_1(t_2) = x_2(t_2)\). Решение этого уравнения выражается формулой

\[t_2 = \frac{2v_0}{a + g}.\tag{3}\]

При свободном движении шарика в верхней точке его скорость обращается в нуль, что позволяет найти этот момент времени. Так как скорость шарика изменяется по закону \(v_2 = (a\tau + v_0) - gt\), то скорость шарика может обратиться в нуль при

\[t_1 = \frac{a\tau + v_0}{g}.\tag{4}\]

Итак, шарик не успеет достичь верхней точки своей траектории свободного движения при выполнении условии \(t_1 > t_2\), или при следующем соотношении между исходными параметрами

\[v _ { 0 } < a \tau \frac { g + a } { g - a } .\tag{5}\]

В этом случае модуль перемещения и пройденный путь равны и могут быть найдены как координата точки падения шарика на платформу

\[x _ { n } = x _ { 1 } ( t _ { 2 } ) = x _ { 2 } ( t _ { 2 } ) = \frac { 2 v _ { 0 } a } { a + g } \cdot \left( \tau + \frac { v _ { 0 } } { a + g } \right) .\tag{6}\]

Если же неравенство (5) не выполняется, то пройденный путь будет превышать модуль перемещения (который, по-прежнему, определяется формулой (6)). Как легко увидеть из графиков законов движения, в этом случае пройденный путь равен

\[S = x _ { n } + 2 ( x _ { \text{в} } - x _ { n } ) ,\tag{7}\]

где \(x _ { \text{в} }\) -координата верхней точки траектории, которая в свою очередь легко определима

\[x _ { \text{в} } = \frac { ( a \tau + v _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 g } .\tag{8}\]

Итак, окончательно получим выражения для пройденного пути

\[S = \frac { ( a \tau + v _ { 0 } ) ^ { 2 } } { g } - \frac { 2 v _ { 0 } a } { a + g } \cdot \left( \tau + \frac { v _ { 0 } } { a + g } \right) .\tag{9}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.