Ледяной покров

Поскольку погода не менялась в течение длительного времени, можно считать, что все термодинамические процессы идут уже в установившемся режиме, то есть температура льда линейно изменяется от \(T_1 = -20{}^\circ\text{C}\) на воздухе до \(T_0 = 0{}^\circ\text{C}\) на границе с водой, а температура воды линейно изменяется от \(T_0 = 0{}^\circ\text{C}\) на границе со льдом до \(T_2 = +4{}^\circ\text{C}\) на дне озера. Качественная зависимость температуры \(T\) от глубины представлена на рисунке.

Кристаллизация воды происходит на границе со льдом при постоянной температуре \(T_0 = 0{}^\circ\text{C}\) (выделенная точка на рисунке), а значения \(T_1\) и \(T_2\) являются константами по условию задачи, значит, средние температуры льда и воды также не меняются со временем и равны соответственно \[T_{10} = \frac{T_1 + T_0}{2} = -10{}^\circ\text{C} = \text{const} \qquad\text{и}\qquad T_{20} = \frac{T_2 + T_0}{2} = +2{}^\circ\text{C} = \text{const}.\]

Пусть \(x\) — толщина льда в некоторый момент времени \(t\), тогда за малый промежуток времени \(dt\) толщина льда увеличится на \(dx\) за счёт кристаллизации воды массой \(dm = \rho S\,dx\), где \(S\) — площадь озера. При этом непосредственно за счёт кристаллизации выделяется количество теплоты \(dQ_0 = \lambda\,dm\), а для сохранения прежних значений средних температур льда и воды нужно отвести от них дополнительные количества теплоты соответственно \[dQ_1 = c_1(T_0 - T_{10})\,dm \qquad\text{и}\qquad dQ_2 = c_2(T_{20} - T_0)\,dm.\] Таким образом, в системе выделяется общее количество теплоты \[dQ = dQ_0 + dQ_1 + dQ_2 = \alpha\,dm = \alpha\rho S\,dx, \tag{154}\] где для краткости введено обозначение \[\alpha = \lambda + c_1\cdot\frac{T_0 - T_1}{2} + c_2\cdot\frac{T_2 - T_0}{2}.\] Это тепло выделяется в разных местах (\(dQ_0\) — на границе, \(dQ_1\) — в объёме льда, \(dQ_2\) — в объёме воды), однако на основании количественной оценки \[\frac{dQ_1 + dQ_2}{dQ_0} = \frac{c_1(T_0 - T_1) + c_2(T_2 - T_0)}{2\lambda} \approx 0{,}09 \ll 1\] будем считать, что всё тепло целиком выделяется на границе. Отметим, что только в рамках этого приближения можно считать зависимость температуры от глубины кусочно линейной функцией.

Поскольку выделившееся количество теплоты \(dQ\) передаётся воздуху за счёт разности температур \(\Delta T = T_0 - T_1\) через слой льда толщиной \(x\) и площадью \(S\) за время \(dt\), по формуле для теплопроводности запишем \[dQ = k\cdot\frac{\Delta T}{x}\cdot S\cdot dt,\] откуда после подстановки \(dQ\) из формулы (154) и упрощения получим \[\alpha\rho x\,dx = k\Delta T\,dt. \tag{155}\] Отметим, что скорость роста ледяного покрова \(v = dx/dt = k\Delta T/(\alpha\rho x) \sim 1/x\) уменьшается при увеличении \(x\), поэтому озёра не промерзают до дна.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (155) при изменении толщины льда \(x\) от \(h\) до \(H\), а времени \(t\) от \(0\) до \(\tau = 1\) сут \(= 86400\) с: \[\int\limits_h^H \alpha\rho x\,dx = \int\limits_0^\tau k\Delta T\,dt,\] откуда \[\frac{\alpha\rho}{2}(H^2 - h^2) = k\Delta T\tau, \qquad\text{или}\qquad H = \sqrt{h^2 + \frac{2k\Delta T\tau}{\alpha\rho}}.\] Найдём искомое приращение толщины ледяного покрова: \[\Delta x = H - h = h\left(\sqrt{1 + \frac{4k(T_0 - T_1)\tau}{\rho h^2\left(2\lambda + c_1(T_0 - T_1) + c_2(T_2 - T_0)\right)}} - 1\right) \approx 5{,}3\text{ см}.\]

Примечание. Может показаться странным, что суточный прирост оказался около четверти толщины льда, образовавшегося согласно условию за несколько недель. Однако никакого противоречия здесь нет, так как из-за конвекции в озере существенное время с начала похолодания занимает охлаждение поверхности воды до температуры кристаллизации.