За пределами третьей космической скорости

Поскольку скорость \(v_0\) космического корабля задана относительно Земли, для перехода в другую систему отсчёта потребуется орбитальная скорость Земли \(v_e\) относительно Солнца. Центростремительное ускорение Земли создаётся гравитационной силой притяжения Солнца, поэтому из второго закона Ньютона \[m\frac{v_e^2}{R} = \gamma\frac{Mm}{R^2}\] находим \[v_e = \sqrt{\frac{\gamma M}{R}}.\]

Обозначим через \(\mu\) массу корабля. Сразу отметим, что применять закон сохранения энергии «по-простому» в виде \[\frac{\mu(v_e+v_0)^2}{2} - \gamma\frac{\mu m}{r} - \gamma\frac{\mu M}{R} = \frac{\mu v^2}{2}\] неправильно, так как при такой записи не учитывается изменение кинетической энергии движения Земли относительно Солнца, вызванное взаимодействием с кораблём, а это изменение оказывается существенным. Изменением энергии большого тела (в данном случае Земли) можно пренебрегать только в инерциальной системе отсчёта, в которой это тело изначально покоилось. Данный факт описан в литературе как «Парадокс большого тела».

Чтобы избежать указанной ошибки и упростить рассуждения, используем условие \(r \ll R\) и разобьём движение космического корабля на два этапа:

1) процесс удаления корабля от поверхности Земли приблизительно вдоль орбиты Земли (то есть без изменения расстояния до Солнца) на расстояние, большое по сравнению с \(r\), но малое по сравнению с \(R\);

2) процесс удаления корабля от Солнца из точки на орбите Земли, расположенной далеко от Земли (то есть уже без взаимодействия с Землёй), на расстояние, большое по сравнению с \(R\).

Первый этап движения рассмотрим относительно Земли, тогда закон сохранения энергии имеет вид \[\frac{\mu v_0^2}{2} - \gamma\frac{m\mu}{r} = \frac{\mu v_1^2}{2},\] откуда находим скорость корабля в конце первого этапа движения: \[v_1 = \sqrt{v_0^2 - 2\gamma\frac{m}{r}}.\] Эта же скорость, рассчитанная относительно Солнца: \[v_2 = v_e + v_1 = \sqrt{\gamma\frac{M}{R}} + \sqrt{v_0^2 - 2\gamma\frac{m}{r}},\] является скоростью корабля в начале второго этапа движения. Закон сохранения энергии на этом этапе в новой системе отсчёта имеет вид \[\frac{\mu v_2^2}{2} - \gamma\frac{M\mu}{R} = \frac{\mu v^2}{2},\] откуда находим искомую конечную скорость корабля: \[v = \sqrt{v_2^2 - 2\gamma\frac{M}{R}} = \sqrt{v_0^2 - 2\gamma\frac{m}{r} - \gamma\frac{M}{R} + 2\sqrt{\gamma\frac{M}{R}}\sqrt{v_0^2 - 2\gamma\frac{m}{r}}}.\] Все подкоренные выражения положительны, так как по условию значение \(v_0\) больше третьей космической скорости, то есть корабль действительно покинет пределы Солнечной системы.