Шарик и стержень

1. Для решения задачи нужно проанализировать три этапа движения: опускание шарика, столкновение шарика со стержнем; последующий подъём шарика и отклонение стержня. На первом и третьем этапах сохраняется механическая энергия, а на втором — момент импульса системы относительно точки подвеса.

Пусть \(v_0\) — скорость шарика непосредственно перед его ударом о стержень, тогда закон сохранения энергии в процессе опускания шарика имеет вид \[\frac{mv_0^2}{2} = mgS_1,\] откуда \[v_0 = \sqrt{2gS_1}.\]

Из теории вращательного движения твёрдого тела известно, что момент инерции стержня массой \(M\) и длиной \(L\) относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню, определяется по формуле \(I = ML^2/3\). Пусть \(v\) — скорость шарика и конца стержня сразу после абсолютно неупругого удара, тогда закон сохранения момента импульса относительно точки подвеса имеет вид \[mv_0L = mvL + I\cdot\frac{v}{L},\] откуда \[v = \frac{3mv_0}{3m+M}.\]

Предположим, что после удара шарик и стержень не взаимодействуют друг с другом, тогда высоты \(h_1^*\) и \(H_1^*\) их подъёма можно найти из двух независимых уравнений, записанных согласно закону сохранения энергии: \[\frac{mv^2}{2} = mgh_1^* \qquad\text{и}\qquad \frac{I}{2}\left(\frac{v}{L}\right)^2 = Mg\cdot\frac{H_1^*}{2},\] откуда \[h_1^* = \frac{v^2}{2g} \qquad\text{и}\qquad H_1^* = \frac{v^2}{3g}. \tag{3}\] Из неравенства \(h_1^* > H_1^*\) следует, что шарик поднялся выше стержня, однако это противоречит тому, что шарик двигался за стержнем, значит, предположение об отсутствии взаимодействия после удара неверно.

Таким образом, шарик и стержень будут двигаться на данном этапе как одно целое (то есть \(h_1 = H_1\)), а закон сохранения энергии примет вид \[\frac{mv^2}{2} + \frac{I}{2}\left(\frac{v}{L}\right)^2 = mgh_1 + Mg\cdot\frac{H_1}{2},\] откуда \[h_1 = H_1 = \frac{(3m+M)v^2}{3g(2m+M)} = \frac{6m^2S_1}{(2m+M)(3m+M)}.\]

2. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, обозначим через \(v_0\) скорость конца стержня непосредственно перед его ударом о шарик, тогда закон сохранения энергии в процессе опускания стержня имеет вид \[\frac{MgS_2}{2} = \frac{I}{2}\left(\frac{v_0}{L}\right)^2,\] откуда \[v_0 = \sqrt{3gS_2}.\]

Пусть \(v\) — скорость шарика и стержня сразу после удара, тогда закон сохранения момента импульса относительно точки подвеса имеет вид \[I\cdot\frac{v_0}{L} = mvL + I\cdot\frac{v}{L},\] откуда \[v = \frac{Mv_0}{3m+M}.\]

Поскольку теперь стержень не мешает движению шарика, шарик поднимется после удара на бо́льшую высоту. Для нахождения \(h_2\) и \(H_2\) подставим новое значение \(v\) в полученные в первом случае формулы (3) для \(h_1^*\) и \(H_1^*\): \[h_2 = \frac{v^2}{2g} = \frac{3}{2}S_2\left(\frac{M}{M+3m}\right)^2, \qquad H_2 = \frac{v^2}{3g} = S_2\left(\frac{M}{M+3m}\right)^2.\]

Примечание. Отметим, что закон сохранения импульса шарика и стержня во время удара не выполняется, так как в этот момент возникает большая сила реакции в шарнире. Эта сила является внешней и потому изменяет импульс системы, однако её плечо относительно точки подвеса равно нулю, поэтому закон сохранения момента импульса был применён правильно. В существовании реакции шарнира легко убедиться экспериментально: достаточно взять длинную палку (кочергу, лом и т. п.) за один конец, раскрутить её за этот конец и ударить другим концом по твёрдой опоре, тогда рука, играющая роль шарнира, в полной мере почувствует рассматриваемую силу.