Два кольца

Сначала выведем формулу для потенциала электростатического поля, создаваемого заряженным кольцом. Для этого рассмотрим тонкое кольцо радиусом \(R\) с зарядом \(Q\) и точку \(P\) на оси кольца на расстоянии \(x\) от его центра \(O\) (см. рисунок). Мысленно разобьём кольцо на множество точечных зарядов: \(Q = Q_1 + \ldots + Q_n\). Согласно теореме Пифагора каждый такой заряд находится на расстоянии \(r = \sqrt{R^2 + x^2}\) от точки \(P\).

С помощью формулы для потенциала точечного заряда и принципа суперпозиции выразим потенциал \(\varphi\), создаваемый всем кольцом в точке \(P\): \[\varphi = \frac{kQ_1}{r} + \ldots + \frac{kQ_n}{r} = \frac{kQ}{r} = \frac{kQ}{\sqrt{R^2 + x^2}}. \tag{189}\] Отметим, что в силу общности вывода полученная формула справедлива для любого распределения заряда по кольцу.

Искомая работа находится по формуле \(A = qU\), где \(U = \varphi_1 - \varphi_2\) — напряжение, или разность потенциалов \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) между центрами колец. С помощью формулы (189) и принципа суперпозиции находим \[\varphi_1 = \frac{kq_1}{\sqrt{R^2 + 0^2}} + \frac{kq_2}{\sqrt{R^2 + d^2}} \qquad\text{и}\qquad \varphi_2 = \frac{kq_1}{\sqrt{R^2 + d^2}} + \frac{kq_2}{\sqrt{R^2 + 0^2}}.\] После подстановки \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) окончательно получим \[A = kq(q_1 - q_2)\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}}\right) \approx -73{,}1\text{ мкДж}.\]