Песочные часы

Показания весов меняет дополнительная сила, равная массе песка, умноженной на ускорение его центра масс; найдите, как со временем движется центр масс.

\(F=\dfrac{2v^2}{S\rho}\).

Первое решение. Рассмотрим изменение координаты центра масс песочных часов за промежуток времени \(\Delta t\). Координата центра масс выражается в виде \(x_C=\sum_i m_ix_i\big/\sum_i m_i\), где суммирование идёт по всем частицам \(i\). Изменение за промежуток времени \(\Delta t\) состоит в том, что верхний слой верхней части песка массой \(\Delta m=v\Delta t\) переходит от координаты \(x_{\text{верх}}\) к координате \(x_{\text{низ}}\), становясь верхним слоем нижней части песка; соответствующее изменение в выражении центра масс \(\Delta x_C=\dfrac1M\bigl(v\Delta t\,x_{\text{низ}}-v\Delta t\,x_{\text{верх}}\bigr)=\dfrac{v\Delta t}{M}\,(x_{\text{верх}}-x_{\text{низ}})\), где \(M\) — общая масса песка; при этом мы рассматривали исчезнувший сверху песок как добавку с отрицательной массой в верхней части песка. Импульс песка находим как \(p=M\Delta x_C/\Delta t=vl\), где \(l\) обозначает разность высот уровней песка. Дополнительная сила, вызывающая изменение показаний весов, есть производная импульса по времени, то есть \[F=v\,\frac{dl}{dt}.\] Для нахождения производной \(\dfrac{dl}{dt}\) заметим, что за время \(\Delta t\) нижний уровень поднимается на длину \(\Delta h=v\Delta t/\rho S\), а верхний уровень опускается на такую же величину, то есть изменение разности высот уровней \(\Delta l=2v\Delta t/\rho S\), откуда \(\dfrac{dl}{dt}=2v/\rho S\). Подставляя этот результат в выражение для силы, получаем \(F=2v^2/S\rho\).

Второе решение. Пусть высота всего количества песка \(H\), а высота песка в нижнем сосуде \(h\). В нижний сосуд поступает песок с массовой скоростью \(v\). Запишем координату центра масс песочных часов: \[x=\frac{\dfrac h2\,hS\rho+\left(\dfrac L2+\dfrac{H-h}{2}\right)(H-h)S\rho}{HS\rho}=\frac{2h^2+LH-Lh+H^2-2Hh}{2H}.\] Если центр масс песочных часов имеет ускорение, то вторая производная координаты центра масс по времени должна быть отлична от нуля. Как следствие второго закона Ньютона можно сказать, что на песочные часы должна действовать дополнительная сила, соответствующая ускорению центра масс — это и есть искомое изменение показаний весов! Возьмём теперь от координаты центра масс два раза подряд производную по времени, помня, что производная высоты уровня песка \(h\) по времени (скорость изменения) непосредственно связана с массовой скоростью потока песка \(v\) следующим образом: \[v=S\rho\dot h.\] Точкой над величиной обозначаем соответствующую производную по времени. Помним, что ускорение изменения \(h\) (вторая производная по времени) должно равняться нулю, и что \(L\) и \(H\) — постоянные величины, поэтому их производные равны нулю! \[\dot x=\frac{4h\dot h-L\dot h-2H\dot h}{2H}.\] Возьмём производную ещё раз: \[a=\ddot x=\frac{4h\ddot h+4\dot h^2-L\ddot h-2H\ddot h}{2H}=\frac{2\dot h^2}{H}=\frac{2v^2}{HS^2\rho^2}.\] Масса всего песка в песочных часах равна \(m=SH\rho\). Дополнительная сила, действующая на песочные часы (изменение показаний весов): \[F=ma=\frac{2v^2}{S\rho}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.