Шарнир

Скорость точки \(Q\) экстремальна, когда её ускорение равно нулю; тогда проекции ускорений \(Q\) и \(P\) на стержень \(PQ\) равны, а ускорение \(P\) направлено вдоль \(PO\).

\(v_{\min}=-\omega r\),  \(v_{\max}=\omega r\,\dfrac{L^2+r^2}{L^2-r^2}\).

Точка \(Q\) движется только вдоль вертикальной оси, поэтому скорость экстремальна, когда ускорение равно нулю. В этот момент должна быть равна нулю и проекция ускорения точки \(Q\) на стержень \(PQ\), которая равна проекции ускорения точки \(P\) на тот же стержень. Поскольку ускорение точки \(P\) постоянно по модулю и направлено вдоль стержня \(PO\), эта проекция становится равной нулю как раз тогда, когда \(PO\) перпендикулярно \(PQ\). Отсюда сразу получаем минимальную скорость \(v_{\min}=-\omega r\) (в момент, когда \(OP\) горизонтально). Пусть \(R\) — та точка прямой \(s\), которая находится на одной высоте с точкой \(O\). В момент, когда скорость максимальна, образуется вписанный четырёхугольник \(QPOR\), поэтому треугольники \(OPQ\) и \(OQR\) равны: \[v_{\max}=\frac{\omega r}{\cos\angle PQR}=\frac{\omega r}{\cos(2\operatorname{arctg}r/L)}=\omega r\,\frac{L^2+r^2}{L^2-r^2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.