Задачи › Движение в электрическом поле

Заряды

  1. Заряды

    Эстонская 2011/12, заключительный этап, 9-11 кл. · №25958
    6/10PDF: условиес решением

    Частицу с положительным зарядом ускоряют в начале координат напряжением \(4U\) (причем \(U>0\)) до некоторой скорости, лежащей в плоскости \(x-y\) под углом в 30 градусов к оси \(x\), см. рисунок. Электрический потенциал \(V(x,y)\equiv V(x)\) зависит только от \(x\)-координаты: когда \(3a<x<4a\), то \(V(x)=U\), в любом ином случае \(V(x)=0\); кроме электростатических сил никакие другие силы на частицу не действуют, и при этом \(a>0\).

    Рисунок

    (a) Изобразите траекторию заряда в плоскости \(x-y\) (геометрические размеры и углы отмечать не нужно).

    (b) Теперь источником заряженных частиц в начале координат является коаксиальный вакуумный диод, благодаря чему ускоренные с помощью напряжения \(4U\) частицы начинают движение изотропно (в одинаковом количестве во всех направлениях) на плоскости \(x-y\); компонента скорости всех частиц вдоль оси \(z\) равна нулю. Какая часть из всех произведенных частиц достигнет региона \(x>4a\)? (12 б.)

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Поле направлено вдоль оси \(x\), поэтому \(y\)-составляющая импульса сохраняется, как у света при переходе в другую среду; вопрос сводится к «полному внутреннему отражению» от слоя с потенциалом \(U\).

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    (b) \(\xi=\dfrac13\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    (a) Поскольку потенциал зависит только от координаты \(x\), электрическое поле везде направлено вдоль оси \(x\), и \(y\)-компонента импульса сохраняется. Поэтому, когда частица входит в область с более высоким потенциалом, уменьшается только \(x\)-компонента скорости, и траектория такая, как у светового луча, проходящего через оптически менее плотный слой.

    (b) Полное «внутреннее отражение» происходит тогда, когда кинетическая энергия, связанная с положительным направлением \(x\), меньше \(qU\), что соответствует углу между вектором скорости и осью \(x\), равному \(\arccos\sqrt{\dfrac{qU}{4qU}}=\dfrac\pi3\). Только при углах, меньших этого угла, частица может пройти слой с более высоким потенциалом, и относительная доля таких частиц \(\xi=\dfrac\pi3\Big/\pi=\dfrac13\).

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиСкопировать ссылкуНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх