Баскетбольный мяч

Мяч начнёт тонуть, когда его средняя плотность станет равна плотности воды, то есть объём сожмётся до \(m/\rho\); на такой глубине упругость оболочки уже не играет роли, и давление в мяче определяется законом Бойля — Мариотта.

\(h=\dfrac{(p_0+p_1)\dfrac{C^3\rho}{6\pi^2m}-p_0}{\rho g}\approx 190\) м.

При погружении глубоко под воду давление столба воды сжимает мяч. Мяч начинает тонуть сам, когда его объём уменьшится настолько, что действующая на мяч выталкивающая сила станет меньше силы тяжести, то есть средняя плотность мяча станет меньше плотности воды. На критической глубине \(\rho=m/V\), где \(V\) — объём сжатого баскетбольного мяча. В конечном счёте мы ищем высоту столба жидкости, создающего давление, достаточное, чтобы объём мяча уменьшился до значения \(V=m/\rho\). Поэтому найдём сначала связь между давлением и объёмом воздуха в мяче. В неопущенном в воду мяче давление равно сумме атмосферного давления и давления, возникающего от силы упругости в оболочке мяча: \(p_0+p_1\). На критической глубине объём мяча составляет менее 10 % от своего первоначального значения, а это означает, что мяч вмят и сила упругости больше не играет роли. Давление в мяче тогда равно сумме давления столба жидкости и атмосферного давления: \(p_v+p_0\). Из закона Бойля — Мариотта известно, что при постоянной температуре давление и объём идеального газа обратно пропорциональны, то есть \[\frac{p_0+p_1}{p_0+p_v}=\frac{V_0}{V}.\] Из этой формулы выразим критическое давление столба жидкости: \[p_v=(p_0+p_1)\frac{V_0}{V}-p_0.\] Приравнивая это выражение к давлению столба воды \(p_v=\rho gh\), где \(h\) — критическая глубина, получаем уравнение, из которого находим \[h=\frac{(p_0+p_1)\dfrac{V_0}{V}-p_0}{\rho g}.\] Теперь надо выразить начальный и конечный объёмы мяча через величины, заданные в задаче. Конечный объём уже найден в начале решения (\(V=m/\rho\)). Для начального объёма воспользуемся формулами длины окружности и объёма шара \(C=2\pi r\) и \(V_0=\tfrac43\pi r^3\), из которых получаем \(V_0=C^3/6\pi^2\), и окончательный ответ \[h=\frac{(p_0+p_1)\dfrac{C^3\rho}{6\pi^2m}-p_0}{\rho g}=190\ \text{м}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.