Печка

Скорость роста температуры печки пропорциональна эффективной мощности (нагрев минус потери); в самом начале потерь нет, и по наклону касательной можно откалибровать мощность при любой другой температуре.

\(\lambda\approx 24{,}5\) кДж/кг (первое решение); \(\lambda\approx 19\) кДж/кг (второе решение).

Первое решение. Известно, что мгновенная эффективная тепловая мощность \(P_{\text{эфф}}\) (то есть мощность нагрева минус мощность остывания, рассеивающаяся в окружающую среду) пропорциональна наклону касательной к графику зависимости температуры от времени (коэффициент пропорциональности — теплоёмкость печки). В самом начале печка имеет комнатную температуру, поэтому в первые секунды тепловых потерь почти нет, и тепловая мощность тигля \(P_0=50\) Вт \(=P_{\text{эфф}}\), то есть такой эффективной мощности соответствует наклон касательной \(\approx250\ {}^\circ\text{C}/\text{мин}\) (см. рисунок). Но ясно, что при более высоких температурах приходится учитывать тепловые потери: именно они являются причиной того, что рост температуры печки замедляется. Когда в печку кладут свинец, температура падает до температуры плавления свинца, \(\approx327\,^\circ\)C. Далее эффективная мощность печки на 100 % идёт на плавление свинца (ведь его собственная температура не меняется). По левой части графика находим, что при температуре \(\approx327\,^\circ\)C наклон касательной равен \(\approx45\ {}^\circ\text{C}/\text{мин}\), то есть эффективная мощность при этой температуре составляет \(\dfrac{45}{250}P_0\approx0{,}18P_0\). При такой эффективной мощности на плавление массы \(m\) свинца уходит время \(\Delta\tau\approx12\) мин (находится по графику), поэтому можно записать \(0{,}18P_0\Delta\tau=\lambda m\), откуда \[\lambda=\frac{0{,}18P_0\Delta\tau}{m}=\frac{0{,}18\cdot50\ \text{Вт}\cdot12\cdot60\ \text{с}}{0{,}265\ \text{кг}}=24{,}5\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}.\]

Второе решение. Будем считать мощность теплообмена пропорциональной разности температур печки и комнаты, \(P_{\text{ср}}=k(T-T_0)\). По графику находим, что устанавливающаяся температура \(T_\infty\approx380\,^\circ\)C, при которой мощность нагрева равна мощности тепловых потерь \(P_0\), то есть \(P_0=k(T_\infty-T_0)\), откуда \(k=P_0/(T_\infty-T_0)\) и \[P_{\text{эфф}}=P_0-P_{\text{ср}}=P_0\,\frac{T_\infty-T}{T_\infty-T_0}\approx50\cdot\frac{50}{360}\ \text{Вт}\approx7\ \text{Вт}.\] Теперь остаётся записать тепловой баланс в виде \(\lambda m=P_{\text{эфф}}\tau\), откуда \(\lambda=P_{\text{эфф}}\tau/m\approx19\) кДж/кг.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.