Три радиатора

Отсчитывайте все температуры от комнатной. Радиаторы одинаковые, расход воды один: как связаны превышения температуры соседних радиаторов?

\(t_2=t_{\text{к}}+\sqrt{(t_1-t_{\text{к}})(t_3-t_{\text{к}})}\approx46\,{}^\circ\text{C}\).

Что происходит. Горячая вода проходит радиаторы по очереди и остывает, каждый радиатор отдаёт полученное от воды тепло комнате. Все связи в задаче — пропорциональность разностям температур, а такие уравнения линейны и однородны, если температуры отсчитывать от комнатной. Радиаторы одинаковы, расход воды один и тот же, поэтому каждый радиатор действует на проходящую воду одинаково, и превышения температуры радиаторов над комнатой образуют геометрическую прогрессию.

Обозначения. \(\Theta_i=t_i-t_{\text{к}}\) — превышение температуры \(i\)-го радиатора над комнатной, \(W_i\) — превышение температуры воды на выходе из \(i\)-го радиатора (\(W_0\) — на входе в первый), \(c_m\) — теплоёмкость воды, проходящей за секунду (в \(\text{Дж}/(\text{с}\cdot\text{К})\); расход всюду одинаков), \(k\) — коэффициент теплоотдачи радиатора в комнату. Мощности \(Q_i\) — теплота, передаваемая в секунду.

1. Радиатор и комната. Режим установился: температура радиатора постоянна, значит, радиатор отдаёт комнате столько же теплоты, сколько получает от воды. По условию теплоотдача пропорциональна разности температур радиатора и комнаты: \[Q_i=k\Theta_i .\]

2. Остывание воды. Теплота, которую радиатор получил от воды, — это теплота, отданная остывающей водой: \[Q_i=c_m\,(W_{i-1}-W_i).\]

3. Вода и радиатор. Теплота передаётся от воды к радиатору пропорционально разности температур воды и радиатора: \[Q_i=\gamma\,(W_{i-1}-\Theta_i),\] где \(\gamma\) — постоянная одного радиатора. Эта формула верна и с учётом того, что вода внутри радиатора остывает по пути: в \(\gamma\) входят площадь контакта, расход и теплоёмкость воды, и вид зависимости остаётся тем же.

4. Связь соседних радиаторов. Приравняем пункты 1 и 3 и найдём превышение температуры радиатора через температуру приходящей воды: \[k\Theta_i=\gamma\,(W_{i-1}-\Theta_i)\ \Rightarrow\ \Theta_i=aW_{i-1},\qquad a=\frac{\gamma}{\gamma+k}.\] Из пунктов 1 и 2 найдём температуру воды на выходе: \[W_i=W_{i-1}-\frac{k\Theta_i}{c_m}=bW_{i-1},\qquad b=1-\frac{ka}{c_m}.\] Числа \(a\) и \(b\) определяются свойствами радиатора и расходом воды, поэтому одинаковы для всех трёх. Тогда \[\Theta_{i+1}=aW_i=b\,aW_{i-1}=b\,\Theta_i .\] Превышения температуры радиаторов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(b\): \[\Theta_2^2=\Theta_1\Theta_3 .\]

5. Числа. \(\Theta_1=80-15=65\text{ К}\), \(\Theta_3=30-15=15\text{ К}\). Тогда \[\Theta_2=\sqrt{65\cdot15}\approx31{,}2\text{ К},\qquad t_2=t_{\text{к}}+\Theta_2\approx15+31\approx46\,{}^\circ\text{C}.\]

Соберём ответ. \[t_2=t_{\text{к}}+\sqrt{(t_1-t_{\text{к}})(t_3-t_{\text{к}})}=15+\sqrt{65\cdot15}\approx46\,{}^\circ\text{C}.\]

Обратите внимание: температуру второго радиатора нельзя брать средним арифметическим (\(47{,}5\,{}^\circ\text{C}\)). Каждый радиатор снижает превышение температуры в одно и то же число раз, а не на одно и то же число градусов.

Проверка. Знаменатель прогрессии \(b=\Theta_3/\Theta_2=15/31{,}2\approx0{,}48\) и \(\Theta_2/\Theta_1=31{,}2/65\approx0{,}48\) — совпадают, как и должно быть. Предельный случай: если вода в радиаторах почти не остывает (\(b\to1\)), то \(t_1\approx t_2\approx t_3\), и формула даёт \(t_2\to t_1\). Если вода остывает до комнатной уже в первом радиаторе (\(b\to0\)), то \(t_2,t_3\to t_{\text{к}}\), и формула даёт \(t_2\to t_{\text{к}}\). Физический смысл: каждый радиатор снимает с воды одну и ту же долю превышения температуры.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.