Колёсная пара на круге

Колёса сидят на одной оси и вращаются с одной угловой скоростью, а идти им по окружностям разных радиусов: оба без проскальзывания катиться не могут. Работа внешней силы идёт на тепло трения скольжения.

\(A_{\min}=2\pi\mu MgL\approx2\pi\mu Mg\,(R_2-R_1)\).

Что происходит. Пара обходит центр с угловой скоростью \(\Omega\), ось всегда направлена по радиусу, колёса стоят на радиусах \(R_1\) и \(R_2\). Диски насажены на общую ось, поэтому вращаются вокруг неё с одной и той же угловой скоростью \(\omega\), и при качении скорость нижней точки каждого колеса относительно его центра одна и та же. А центры колёс идут по окружностям разных радиусов с разными скоростями \(\Omega R_1\) и \(\Omega R_2\). Значит, колёса не могут одновременно катиться без проскальзывания: хотя бы одно проскальзывает, и работа внешней силы превращается в тепло трения скольжения. Главная идея — найти, как меньше всего пути проскальзывания приходится на весь круг.

Обозначения. \(r\) — радиус колёс, \(\Omega\) — угловая скорость обхода центра, \(\omega\) — угловая скорость колёс вокруг оси, \(u_1\) и \(u_2\) — скорости точек колёс, которыми они касаются земли, относительно земли (положительны вперёд, по ходу движения). Скорость центра колеса \(i\) равна \(\Omega R_i\), а скорость точки касания относительно центра колеса \(-\omega r\) (при качении вперёд она направлена назад). Отсюда \[u_1=\Omega R_1-\omega r,\qquad u_2=\Omega R_2-\omega r .\]

1. Тепло и путь проскальзывания. Сила трения скольжения на колесо равна \(\mu N\), а ось лёгкая, диски одинаковы и пара движется медленно, поэтому на каждое колесо давит сила \(Mg\): \(N=Mg\). Мощность тепловых потерь колеса — сила трения, умноженная на скорость проскальзывания, поэтому суммарная мощность потерь равна \[P=\mu Mg\,\bigl(|u_1|+|u_2|\bigr)=\mu Mg\,\bigl(|\Omega R_1-\omega r|+|\Omega R_2-\omega r|\bigr).\] Колесо, которое катится без проскальзывания (\(u=0\)), тепла не даёт, а колесо со скоростью проскальзывания \(u\) теряет \(\mu Mg\,|u|\) в секунду.

2. Закон сохранения энергии за весь круг. Возьмём систему «колёсная пара». За полный круг пара возвращается в то же состояние (скорость и вращение колёс прежние), её кинетическая энергия не изменилась, а стенки гладкие и работы не совершают. Тогда вся работа внешней силы пошла на тепло: \[A=\int_0^{T} P\,dt,\qquad \Omega T=2\pi .\] Нужна наименьшая работа, то есть наименьшее значение \(|u_1|+|u_2|\) в каждый момент.

3. Наименьшее проскальзывание. Разность скоростей проскальзывания не зависит от \(\omega\): \[u_2-u_1=\Omega\,(R_2-R_1)=\Omega L .\] Для любых двух чисел \(|u_1|+|u_2|\ge|u_2-u_1|\), причём равенство достигается, когда \(u_1\) и \(u_2\) имеют разные знаки (или одно из них равно нулю), то есть когда \(\omega r\) лежит между \(\Omega R_1\) и \(\Omega R_2\). Это можно сделать, например, при \(\omega r=\Omega R_1\) (внутреннее колесо катится, внешнее проскальзывает вперёд) или при \(\omega r=\Omega(R_1+R_2)/2\) (оба проскальзывают одинаково в разные стороны). Тогда мощность потерь минимальна и постоянна: \[P_{\min}=\mu Mg\,\Omega L .\]

4. Соберём ответ. Время круга \(T=2\pi/\Omega\): \[A_{\min}=P_{\min}T=\mu Mg\,\Omega L\cdot\frac{2\pi}{\Omega}=2\pi\mu MgL\approx2\pi\mu Mg\,(R_2-R_1).\] Скорость обхода \(\Omega\) сократилась: полное проскальзывание за круг определяется только геометрией — разностью радиусов.

Обратите внимание: работа определяется не силой трения, а путём проскальзывания. Колесо, которое катится без проскальзывания, тепла не выделяет, хотя проходит по земле путь \(2\pi R_i\). Считать работу как \(\mu Mg\cdot2\pi(R_1+R_2)\) (то есть весь путь обоих колёс) было бы ошибкой.

Проверка. Размерность: \(\mu MgL\) — сила на длину, джоуль. Предельный случай \(R_1\to R_2\) (\(L\to0\), обычная колёсная пара едет по окружности бесконечно большого радиуса, оба колеса идут одинаковым путём): \(A\to0\), колёса катятся без проскальзывания. При \(\mu\to0\) работа тоже нулевая. Второй способ — через путь: обод у обоих колёс за круг прокатывается на одну и ту же длину \(s\) (общая ось), а центры колёс обязаны пройти \(2\pi R_1\) и \(2\pi R_2\). Суммарное проскальзывание не меньше разности \(2\pi(R_2-R_1)\), и каждый метр проскальзывания стоит \(\mu Mg\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.