Каталог задач › Механика › Законы сохранения

Неконсервативные системы, работа трения

63 задачи по теме из олимпиад по физике, от лёгких к трудным; из них 14 — с решением прямо на сайте.

Собрать подборку по теме

  1. Два склона с трением

    МОШ · 2010/11 · отборочный этап · 11 кл. · интернет-этап, вариант 1 · №1
    3/10

    Из точки \(A\) по двум наклонным плоскостям с углами наклона \(\alpha_1 = 30^\circ\) и \(\alpha_2 = 45^\circ\) (см. рисунок) последовательно без начальной скорости соскальзывает брусок. Найдите отношение скоростей \(V_1/V_2\) тела у основания наклонных плоскостей, если коэффициент трения у плоскостей одинаков и равен \(\mu = 0{,}4\). Ответ округлите до сотых долей.

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Работа силы трения на наклонной плоскости равна \(\mu mg\cos\alpha \cdot h/\sin\alpha\), то есть зависит от высоты \(h\) и угла. Запишите теорему об изменении кинетической энергии для каждого склона.

    Вся олимпиада на сайте

  2. Склон и горизонтальный участок

    МОШ · 2010/11 · отборочный этап · 11 кл. · интернет-этап, вариант 2 · №1
    3/10

    Из точки \(A\) по двум гладким наклонным плоскостям с углами наклона \(\alpha_1 = 30^\circ\) и \(\alpha_2 = 45^\circ\) (см. рисунок) последовательно без начальной скорости соскальзывает брусок. В первом случае, соскользнув с наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha_1\), брусок въезжает на горизонтальную поверхность с коэффициентом трения \(\mu_1 = 0{,}1\) и проезжает до полной остановки путь \(L_1\). Во втором случае, соскользнув с наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha_2\), брусок проезжает по горизонтальной поверхности с коэффициентом трения \(\mu_2 = 0{,}2\) до полной остановки путь \(L_2\). Найдите отношение \(L_1/L_2\).

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Плоскости гладкие, поэтому скорость внизу определяется только высотой точки \(A\). Как работа силы трения на горизонтальном участке связана с этой кинетической энергией?

    Вся олимпиада на сайте

  3. Тело на шероховатой поверхности

    МОШ · 2012/13 · отборочный этап · 11 кл. · заочный тур · №14
    3/10

    Тело массой \(100\) г движется со скоростью \(1\) м/с по шероховатой поверхности с коэффициентом трения \(0{,}1\). На тело действует сила \(0{,}05\) Н, направленная по направлению движения. Какое расстояние проедет тело до остановки? Ответ представьте в метрах и округлите до десятых. Ускорение свободного падения считайте равным \(10\) м/с\(^2\).

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Работа всех сил на пути до остановки равна изменению кинетической энергии.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(1{,}0\) м

    Вся олимпиада на сайте

  4. Шайба: одно измерение

    МОШ · 2013/14 · отборочный этап · 7-11 кл. · заочный тур, задание 1 · №2
    4/10

    Хоккеист Андрей находится на длинной ледяной дорожке. Он сообщает шайбе стартовую скорость \(u\). Некоторое время шайба движется с этой скоростью. На дорожке имеется шероховатый участок длиной 1 м, после прохождения которого шайба движется с меньшей скоростью \(v\). Андрей обнаружил, что при \(u=2{,}83\) м/с конечная скорость \(v=2\) м/с.

    1. Шайбу запустили со скоростью \(5{,}66\) м/с. Какую скорость она будет иметь после прохождения двух шероховатых участков длиной 1 м? Ответ представьте в м/с и округлите до сотых.

    2. Шайбу запустили со скоростью \(4{,}47\) м/с. Какую скорость она будет иметь после прохождения шероховатого участка длиной 3 м? Ответ представьте в м/с и округлите до сотых.

    3. Шайбу запустили со скоростью \(5{,}29\) м/с, она попала на длинный шероховатый участок дорожки. Сколько метров пройдёт шайба до остановки? Ответ округлите до целых.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Работа силы трения на участке заданной длины всегда одна и та же. Через какую величину удобно записать эту работу?

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) \(4{,}90\) м/с;  2) \(2{,}83\) м/с;  3) 7 м.

    Вся олимпиада на сайте

  5. Доска и кубик

    МОШ · 2022/23 · отборочный этап · 10 кл. · №8
    4/10

    На конце достаточно длинной доски массой \(2m\), лежащей на гладкой горизонтальной поверхности, располагается небольшой кубик массой \(m\). Кубику сообщается скорость, направленная вдоль доски (см. рисунок). Вследствие трения скорость кубика относительно доски в процессе движения уменьшается и к моменту, когда кубик достигает конца доски, становится в 4 раза меньше, чем в начале движения.

    Рисунок

    Ответы на вопросы задачи дайте в виде десятичных дробей, округлите до десятых.

    1. (2 балла) Какая часть начальной кинетической энергии кубика в лабораторной системе отсчёта выделится в виде тепла в процессе его движения по доске?

    2. (3 балла) Если длина доски равна 1 м, а начальная скорость кубика равна 4 м/c, то чему равен коэффициент трения кубика о поверхность доски? Ускорение свободного падения равно 10 м/c\(^2\).

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Закон сохранения импульса даёт скорость доски в конце движения. Выделившееся тепло равно убыли кинетической энергии системы, а оно же равно работе силы трения на пути кубика относительно доски.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    a) 0,6;  b) 0,5.

    Вся олимпиада на сайте

  6. Шайба и шероховатый участок: таблица

    МОШ · 2013/14 · отборочный этап · 7-11 кл. · заочный тур, задание 1 · №1
    5/10

    Хоккеист Вася находится на длинной ледяной дорожке. Он сообщает шайбе стартовую скорость \(u\). Некоторое время шайба движется с этой скоростью. На дорожке имеется шероховатый участок длиной 1 м, после прохождения которого шайба движется с меньшей скоростью \(v\). Результаты измерений скоростей \(u\) и \(v\) Вася занёс в таблицу: (\(u=2\) м/с; \(v=0\)); (\(u=2{,}83\) м/с; \(v=2\) м/с); (\(u=3{,}46\) м/с; \(v=2{,}83\) м/с); (\(u=4\) м/с; \(v=3{,}46\) м/с); (\(u=4{,}47\) м/с; \(v=4\) м/с); (\(u=4{,}9\) м/с; \(v=4{,}47\) м/с); (\(u=5{,}29\) м/с; \(v=4{,}9\) м/с); (\(u=5{,}66\) м/с; \(v=5{,}29\) м/с); (\(u=6\) м/с; \(v=5{,}66\) м/с).

    1. Шайбу запустили со скоростью \(5{,}66\) м/с. Какую скорость она будет иметь после прохождения двух шероховатых участков длиной 1 м? Ответ представьте в м/с и округлите до сотых.

    2. Шайбу запустили со скоростью \(4{,}47\) м/с. Какую скорость она будет иметь после прохождения шероховатого участка длиной 3 м? Ответ представьте в м/с и округлите до сотых.

    3. Шайбу запустили со скоростью \(5{,}29\) м/с, она попала на длинный шероховатый участок дорожки. Сколько метров пройдёт шайба до остановки? Ответ округлите до целых.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Посмотрите, какая величина меняется на каждом метре шероховатого участка одинаково, и проверьте это по таблице.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) \(4{,}90\) м/с;  2) \(2{,}83\) м/с;  3) 7 м.

    Вся олимпиада на сайте

  7. Брусок на пружине с трением

    МОШ · 2016/17 · отборочный этап · 11 кл. · заочный тур, задание 2 · №1
    5/10

    Бруску массой \(m = 1\) кг, лежащему на горизонтальной поверхности и соединенному со стенкой пружиной жесткостью \(k = 100\) Н/м, сообщают скорость \(v_0 = 1\) м/с в направлении стены. Изначально пружина была растянута на \(l = 10\) см. Коэффициент трения между поверхностью и бруском \(\mu = 0{,}2\). Определите максимальную скорость бруска \(u\) в процессе последующего движения. \(g = 10\) м/с\(^2\).

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Скорость максимальна там, где ускорение обращается в ноль, то есть сила упругости уравновешена силой трения. Найдите деформацию пружины в этой точке и запишите изменение механической энергии на пути до неё.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(u = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{k}{m}(l^2 - x^2) - 2\mu g (l - x)} \approx 1{,}28\) м/с, где \(x = \mu m g/k = 2\) см.

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    Когда скорость бруска максимальна, его ускорение обращается в ноль. Равна нулю в этот момент и сумма сил, действующих на брусок, \(\mu m g = k x\), где \(x\) — деформация растянутой пружины. С учетом численной подстановки получаем \(x = 2\) см. По закону изменения механической энергии \[\frac{m v_0^2}{2} + \frac{k l^2}{2} - \mu m g (l - x) = \frac{m u^2}{2} + \frac{k x^2}{2}.\] Отсюда \[u = \sqrt{v_0^2 + \frac{k}{m}(l^2 - x^2) - 2\mu g (l - x)} = 1{,}28 \text{ м/с}.\]

    Вся олимпиада на сайте

  8. Наклонная плоскость

    ВсОШ · 2022/23 · региональный этап · 10 кл. · теория · №2
    5/10

    Жесткий невесомый стержень длины \(L\) лежит на шероховатой наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha\) с горизонтом. Один конец стержня шарнирно прикреплен к плоскости, а ко второму концу присоединен небольшой массивный груз. Изначально стержень расположен так, что груз находится в самой нижней точке.

    Рисунок

    1. Какую минимальную скорость \(v_1\), направленную перпендикулярно стержню и вдоль плоскости, необходимо сообщить грузу, чтобы он, двигаясь вместе со стержнем, смог оказаться в точке, диаметрально противоположной начальной (в точке \(A\))?

    2. Какую минимальную скорость \(v_2\), направленную перпендикулярно стержню и вдоль плоскости, необходимо сообщить грузу, чтобы он смог вернуться в исходную точку после одного полного оборота стержня?

    Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен \(\mu = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{2}\), трение между стержнем и плоскостью и трение в шарнире отсутствуют.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Сила трения постоянна по модулю и направлена против скорости — её работа равна \(-\mu mg\cos\alpha\), умноженному на путь. Во втором пункте учтите, что после верхней точки груз ещё какое-то время тормозит: найдите, где скорость минимальна.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) \(v_1 = \sqrt{(4 + \pi)gL\sin\alpha} \approx \sqrt{7{,}14\,gL\sin\alpha}\);  2) \(v_2 = \sqrt{(2 + \sqrt3 + 7\pi/6)gL\sin\alpha} \approx \sqrt{7{,}40\,gL\sin\alpha}\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    Так как стержень жесткий и изначальная скорость сообщена вдоль наклонной плоскости, то тело будет двигаться по окружности радиуса \(L\).

    При движении на груз действуют четыре силы: потенциальная сила тяжести и непотенциальные силы трения и реакции опоры со стороны стержня и плоскости. Сила реакции со стороны стержня, как и сила реакции со стороны плоскости, в любой момент времени направлены перпендикулярно скорости, поэтому их работа равна нулю. Сила трения постоянна по модулю и в любой момент направлена против скорости, поэтому работа силы трения будет равна \(A_\text{тр} = -F_\text{тр}S\), где \(S\) — длина пути, пройденного телом. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную плоскости: \(N - mg\cos\alpha = 0\). Так как тело скользит, то на него действует сила трения скольжения, равная \(F_\text{тр} = \mu N = \mu mg\cos\alpha\). Пусть скорость груза в верхней точке равна 0. Запишем связь между изменением механической энергии тела и работой силы трения: \[(mg\cdot 2L\sin\alpha - 0) + \left(0 - \frac{mv_1^2}{2}\right) = -\mu mg\cos\alpha\cdot\pi L.\] Скорость \(v_1\) будет равна \[v_1 = \sqrt{gL(4\sin\alpha + 2\mu\pi\cos\alpha)} = \sqrt{(4 + \pi)gL\sin\alpha} \approx \sqrt{7{,}14\,gL\sin\alpha}.\]

    Рассмотрим в произвольный момент времени проекции сил, действующих на груз, на ось, сонаправленную скорости. Не нулевыми на эту ось будут только проекции силы тяжести и силы трения. Пока груз движется от нижней точки к самой верхней, обе проекции будут отрицательными, значит модуль скорости груза будет уменьшаться. В процессе дальнейшего движения проекция силы тяжести станет положительной и будет постепенно возрастать от нулевого значения, значит скорость тела первое время продолжит уменьшаться и достигнет минимума в точке, когда проекция силы тяжести скомпенсирует проекцию силы трения: \[mg\sin\alpha\sin\beta - \mu mg\cos\alpha = 0\] (здесь \(\beta\) — угол между стержнем и «вертикалью», то есть прямой, проходящей через верхнюю точку траектории груза и шарнир). Отсюда получим, что \[\sin\beta = \frac{\mu}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac12 \;\Rightarrow\; \beta = \frac{\pi}{6}.\] Так как работа силы трения и изменение потенциальной энергии при перемещении в фиксированное положение не зависят от величины начальной скорости, то минимальному значению скорости на старте соответствует нулевое значение минимальной скорости в процессе дальнейшего движения. Запишем опять связь между изменением механической энергии тела и работой силы трения: \[(mg\cdot L\sin\alpha\cdot(1 + \cos\beta) - 0) + \left(0 - \frac{mv_2^2}{2}\right) = -\mu mg\cos\alpha\cdot(\pi + \beta)L.\] Тогда \[v_2^2 = 2gL\sin\alpha\cdot(1 + \cos\beta) + 2\mu g\cos\alpha(\pi + \beta)L = gL\sin\alpha\left(2 + \sqrt3 + \frac{7\pi}{6}\right),\] откуда \[v_2 = \sqrt{(2 + \sqrt3 + 7\pi/6)gL\sin\alpha} \approx \sqrt{7{,}40\,gL\sin\alpha}.\]

    Вся олимпиада на сайте

  9. Груз с трением, зависящим от координаты

    МОШ · 2012/13 · заключительный этап · 11 кл. · №7
    6/10

    На длинном горизонтальном столе лежит груз 1 массой \(m\), к которому привязана лёгкая нерастяжимая нить. Эта нить перекинута через установленный на краю стола невесомый блок, который может вращаться без трения, и ко второму концу нити прикреплён такой же груз 2. Сначала груз 1 удерживают неподвижно, так, что груз 2 свободно висит на нити, а затем груз 1 отпускают без начальной скорости. При движении системы на груз 1 действует сила сухого трения, причём коэффициент трения скольжения зависит от координаты \(x\) груза 1 по закону \(\mu(x) = kx\) (координата \(x\) отсчитывается от начального положения груза 1).

    Рисунок

    1. Какой путь пройдёт груз 1 после отпускания?

    2. Какую максимальную скорость будут иметь грузы в процессе движения этой системы?

    3. Найдите максимальное значение модуля силы натяжения нити в процессе движения этой системы.

    4. Изобразите график зависимости проекции ускорения груза 1 на направление его движения от координаты \(x\) и график зависимости модуля силы натяжения нити от времени.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Сила трения линейно растёт с координатой, поэтому работу трения можно считать через среднее значение силы. Ускорение системы тоже линейно зависит от \(x\).

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) груз 1 после отпускания пройдёт путь \(x_{\max} = 2x_0 = 2/k\);  2) в процессе движения грузы будут иметь максимальную скорость \(V_{\max} = \sqrt{\dfrac{g}{2k}}\);  3) максимальное значение модуля силы натяжения нити в процессе движения \(T_{\max} = \dfrac{3mg}{2}\);  4) графики зависимостей \(a(x)\) и \(T(t)\) приведены на рисунках 1 и 2.

    Рисунок
    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

  10. Брусок на клине с трением

    МОШ · 2017/18 · заключительный этап · 10 кл. · №8
    6/10

    Клин массой \(M = 250\) г с углом \(\alpha = 30^\circ\) при основании покоится на гладкой горизонтальной плоскости. На клин положили брусок массой \(m = 100\) г и ударом сообщили ему некоторую скорость, направленную вверх вдоль наклонной поверхности клина. Найдите, какое количество теплоты \(Q\) выделилось в результате трения бруска о клин, если известно, что максимальная высота, на которую поднялся брусок от своего начального положения, \(h = 20\) см. Коэффициент трения бруска о наклонную поверхность клина \(\mu = 0{,}6\). Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\text{ м/с}^2\).

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Выделившееся тепло равно работе силы трения на пути вдоль клина. Силу реакции \(N\) найдите из уравнений движения бруска и клина при ускорении клина, возникающем из-за сил, действующих со стороны бруска.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(Q = \dfrac{\mu m g h \,\mathrm{ctg}\,\alpha}{1 + \dfrac{m}{M}\sin\alpha\,(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)} \approx 0{,}17\text{ Дж}\).

    Вся олимпиада на сайте

  11. Минимальная работа на наклонной плоскости

    Курчатов · 2016/17 · отборочный этап · 10 кл. · интернет-этап · №6
    3/10

    Минимальная работа — изменение потенциальной энергии плюс работа против трения на пути вдоль плоскости.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  12. Тело у упругой стенки на наклонной плоскости

    Росатом · 2019/20 · заключительный этап · 11 кл. · площадка 3 · №1
    3/10

    Тело многократно упруго отражается от стенки и теряет энергию только на трение; при k < tg α оно останавливается у стенки, и полный путь находят из баланса потенциальной энергии и работы трения.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  13. Переменное трение

    ВсОШ · 2013/14 · региональный этап · 10 кл. · теория · №2
    4/10

    Груз скользит по наклонной плоскости, коэффициент трения растёт пропорционально пройденному пути, остановился после спуска на H; максимум скорости при нулевой равнодействующей, работа линейно растущей силы трения даёт максимальную скорость.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  14. Шайба в коридоре со стенками

    Курчатов · 2017/18 · отборочный этап · 9 кл. · №1
    4/10

    Упругие удары о стенки не меняют величину скорости, а трение гасит шайбу на пути V²/(2μg); пройденное вдоль коридора расстояние — проекция этого пути, откуда наименьшая длина L (варианты 1–2: разные углы).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  15. Лыжник на склоне

    Курчатов · 2021/22 · отборочный этап · 9 кл. · №2
    4/10

    Работа силы трения на склоне любой формы равна μmg на горизонтальное смещение; по энергии потеря потенциальной энергии равна этой работе, откуда разность высот не зависит от профиля (варианты 1–2).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  16. Шайба на доске после удара

    Курчатов · 2021/22 · отборочный этап · 11 кл. · №1
    4/10

    Шайба скользит по доске на гладком столе: закон сохранения импульса и потеря энергии на работе трения на относительном пути L дают минимальную начальную скорость для соскальзывания (варианты 1–2).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  17. Перемещение скамейки

    ВсОШ · 2015/16 · заключительный этап · 9 кл. · теория · №3
    5/10

    Скамейку с лёгкими опорами тянут с постоянной скоростью через шероховатую полосу; сила трения зависит от распределения нагрузки по опорам (моменты сил), работа F равна работе трения, и нужно условие, при котором опоры не отрываются.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  18. Затухающие колебания бруска на пружине с сухим трением

    Физтех · 2016/17 · заключительный этап · 9 кл. · билеты 2–3 · №4
    5/10

    Брусок на наклонной плоскости с пружиной и сухим трением: по закону сохранения энергии с работой трения амплитуда падает на постоянную величину за полуколебание; найти положение первой остановки и конечное положение с учётом зоны покоя. (билеты 09-02, 09-03)

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  19. Затухающие колебания бруска на пружине с трением

    Физтех · 2016/17 · заключительный этап · 10 кл. · билеты 2–3 · №2
    5/10

    Брусок на наклонной плоскости с пружиной и сухим трением: амплитуда убывает на постоянную величину за полуколебание (ЗСЭ с работой трения); найти положение первой остановки и конечной остановки с учётом зоны покоя. (билеты 10-02, 10-03)

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  20. Лыжник на склоне с двумя коэффициентами трения

    Физтех · 2018/19 · заключительный этап · 9 кл. · билеты 3–4 · №4
    5/10

    На склоне коэффициент трения выше некоторой высоты меньше tgα (разгон), ниже — больше (торможение); из закона изменения энергии с работой трения находим высоту старта (или границу), максимальную скорость и время движения на участке разгона или торможения. (варианты 3–4)

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  21. Бруски, связанные пружиной, на шершавом столе

    Курчатов · 2019/20 · отборочный этап · 10 кл. · №2
    5/10

    Второй брусок остаётся на месте, пока максимальная сила пружины не превысит трение покоя; энергия, потерянная первым бруском на трение, связывает максимальное сжатие пружины с начальной скоростью удара (варианты 1–2).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  22. Два бруска на пружине и трение

    Курчатов · 2019/20 · отборочный этап · 11 кл. · №2
    5/10

    Неподвижность второго бруска означает, что сила пружины не превосходит силы трения покоя; энергия первого бруска с потерями на трение связывает максимальное сжатие с начальной скоростью, что даёт её верхний предел (варианты 1–2).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  23. Санки на горке с трением

    Физтех · 2022/23 · заключительный этап · 10 кл. · №3б
    5/10

    Работа силы трения на склоне горки зависит только от горизонтального смещения: по известной работе при подъёме найти скорость при спуске и работу при переносе в другую точку профиля (варианты 3–4).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  24. Брусок на тележке, прижатой к упору

    Физтех · 2012/13 · заключительный этап · 11 кл. · билеты 1–4 · №1
    6/10

    Брусок с пружиной на шероховатой тележке, тележка у упора: из опытов с подвешиванием и равномерным протаскиванием находят жёсткость и силу трения, тележка отрывается, когда сила пружины сравняется с трением; скорости — из энергии с работой трения и ЗСИ после отрыва, конечная скорость тележки — после остановки бруска. (варианты 1–4)

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  25. Затухающие колебания бруска на пружине с сухим трением

    Физтех · 2016/17 · заключительный этап · 11 кл. · билеты 3–6 · №1
    6/10

    Брусок с пружиной на наклонной плоскости с трением: ЗСЭ даёт убывание амплитуды на постоянную величину, положения первой и окончательной остановки, а время до остановки — число полуколебаний на полупериод пружинного маятника. (билеты 11-03 … 11-06)

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  26. На льдине

    ВсОШ · 2016/17 · заключительный этап · 10 кл. · теория · №1
    6/10

    Камень скользит с трением по движущейся льдине; в системе льдины сила трения направлена против скорости, условие минимума скорости в системе берега даёт коэффициент трения; найти тепло и положение камня в момент остановки.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  27. Просто трение

    ВсОШ · 2017/18 · региональный этап · 10 кл. · теория · №1
    6/10

    Брусок и фанера равной массы на льду получают перпендикулярные скорости v и 3v; из-за трения скорость бруска относительно листа гасится — найти минимальные скорости обоих, используя импульс и относительное скольжение.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  28. Шайба и шероховатый клин

    Курчатов · 2024/25 · заключительный этап · 9 кл. · №3
    6/10

    Шайба въезжает на подвижный клин с трением на гладком столе; сохранение горизонтального импульса, энергия клина и шайбы в момент вылета и высота подъёма дают долю энергии, перешедшую в тепло.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  29. Мешок и трение

    ВсОШ · 2012/13 · заключительный этап · 10 кл. · теория · №1
    7/10

    Мешочек прыгает по горизонтальной плоскости: после каждого приземления теряется вертикальная скорость, а горизонтальная гасится импульсом силы трения (через нормальную реакцию при ударе); суммировать смещения по сериям прыжков и максимизировать по углу броска.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  30. Отрыв вагона

    МОШ · 2011/12 · отборочный этап · 10 кл. · №18 · смежная тема
    5/10

    От поезда массой \(M\), идущего с постоянной скоростью, отрывается последний вагон массой \(m = M/3\), который проходит путь \(l = 500\) м и останавливается. На каком расстоянии от вагона в момент его остановки будет находиться поезд, если сила тяги паровоза постоянна, а сила трения каждой части поезда не зависит от скорости и пропорциональна ее весу? Ответ выразите в метрах и округлите до целых.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    До отрыва сила тяги равна силе трения всего поезда. После отрыва поезд и вагон движутся равноускоренно с разными ускорениями; время остановки вагона общее.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    750

    Вся олимпиада на сайте

  31. Шайба в желобе

    МОШ · 2011/12 · отборочный этап · 11 кл. · №16 · смежная тема
    5/10
    Рисунок

    Шероховатая плоская полоса, наклонённая под углом \(\alpha = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ\) к горизонту, без перегиба переходит в гладкий желоб в форме окружности радиусом \(R = 30\) см (см. рисунок). С какой минимальной высоты (над нижней точкой желоба) надо отпустить соскальзывать по полосе без начальной скорости небольшую шайбу, чтобы она проехала по желобу, не отрываясь от него? Коэффициент трения между шайбой и плоской полосой \(\mu = 0{,}375\). Ответ выразите в сантиметрах и округлите до целого значения.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    В верхней точке желоба сила реакции опоры должна быть не меньше нуля; работа трения на полосе зависит от длины спуска, а значит, от высоты.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(144\) см.

    Вся олимпиада на сайте

  32. С ускорением

    ВсОШ · 2024/25 · региональный этап · 10 кл. · теория · №2 · смежная тема
    6/10

    Идеально гибкая однородная нерастяжимая цепочка постоянной толщины, массой \(m\) и длиной \(L\) подвешена с помощью короткой нити к закреплённой точке \(A\) (рис. а). В некоторый момент времени нить пережигают, и цепочку начинают тянуть за её нижний конец с постоянной силой \(F\) в направлении точки \(A\) (рис. б).

    Рисунок

    1. С каким по модулю ускорением \(a_0\) начнёт двигаться верхний конец цепочки сразу после пережигания нити?

    2. Через какое время \(\tau\) после пережигания нити вся цепочка снова выпрямится?

    3. Определите модуль скорости цепочки \(v\) сразу после её распрямления.

    4. Какое количество теплоты \(Q\) выделится за время \(\tau\)?

    5. Определите силу натяжения \(T\) цепочки в точке \(B\), расположенной в её середине, после её распрямления.

    Ускорение свободного падения равно \(g\). Сопротивлением воздуха необходимо пренебречь. Размеры звеньев в цепочке много меньше её длины. Считайте, что столкновения звеньев в цепи неупругие.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Свободная (не натянутая силой) часть цепочки просто падает. Центр масс всей цепочки движется с постоянным ускорением \(g - F/m\); ещё проще — перейти в систему отсчёта, свободно падающую с ускорением \(g\): там на цепочку действует одна сила \(F\).

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) \(a_0 = g\);  2) \(\tau = \sqrt{2Lm/F}\);  3) \(v = \left|g - \dfrac{F}{m}\right|\sqrt{\dfrac{2Lm}{F}}\);  4) \(Q = FL\);  5) \(T = F/2\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    1. После пережигания нити длина вертикального участка цепочки, на край которой действует сила \(F\), будет увеличиваться. Другой участок цепочки сокращающейся длины будет двигаться только под действием силы тяжести, значит модуль ускорения верхнего края цепочки сразу после пережигания и до момента полного разворота цепочки равен \[a_0 = g.\]

    2. Способ 1. Согласно теореме о движении центра масс ускорение центра масс цепочки в проекции на ось \(y\) (см. рисунок) равно \(a_y = \dfrac{mg - F}{m} = g - \dfrac{F}{m}\). За время \(\tau\) центр масс цепочки сместится вдоль оси \(y\) на \(\dfrac{a_y\tau^2}{2}\). Верхний край цепочки за время \(\tau\) переместится на расстояние \(\dfrac{g\tau^2}{2}\), значит \(L + \dfrac{a_y\tau^2}{2} = \dfrac{g\tau^2}{2}\). С учётом полученных соотношений \[\tau = \sqrt{\frac{2Lm}{F}}.\]

    Рисунок

    Способ 2. Ответ на вопрос можно получить и другим способом. Пересядем из лабораторной системы отсчёта (далее — ЛСО) в неинерциальную систему отсчёта (далее — НеИСО), падающую вниз без начальной скорости с ускорением свободного падения \(g\). В этой системе отсчёта изначально неподвижная цепочка приходит в движение под действием лишь одной силы \(F\). И сумма действующих на любой элементарный (малый) участок силы тяжести и силы инерции равна нулю. В этом случае центр масс цепочки движется согласно теореме о движении центра масс с ускорением \(a' = F/m\) и проходит за искомое время \(\tau\) расстояние \(L\). А значит \(\tau = \sqrt{2L/a'}\), что дает тот же ответ.

    3. Способ 1. Через время \(\tau\) все части цепочки движутся с одинаковой скоростью, равной скорости её центра масс. А значит \(v = |v_y| = |a_y|\tau\), то есть \[v = \left|g - \frac{F}{m}\right|\sqrt{\frac{2Lm}{F}}.\]

    Способ 2. Ответ на этот пункт можно получить, также используя пересадку в НеИСО. Скорость в данной системе отсчёта сразу после разворота цепочки равна \(v' = a'\tau = \dfrac{F}{m}\sqrt{\dfrac{2Lm}{F}} = \sqrt{\dfrac{2FL}{m}}\) и направлена вверх. В данный момент выбранная система отсчёта будет двигаться вниз со скоростью \(v_c = g\tau = g\sqrt{\dfrac{2Lm}{F}}\). При пересадке обратно в ЛСО с учётом закона сложения скоростей получаем \(v_y = v_c - v' = \left(g - \dfrac{F}{m}\right)\sqrt{\dfrac{2Lm}{F}}\). А значит \(v = |v_y|\).

    4. Способ 1. Работа \(A_F\) силы \(F\) равна сумме изменения механической энергии \(\Delta E_\text{мех}\) цепочки и выделившегося количества теплоты \(Q\): \(A_F = \Delta E_\text{мех} + Q\), где \(A_F = F\left(L - \dfrac{a_y\tau^2}{2}\right)\), \(\Delta E_\text{мех} = \Delta K + \Delta\varPi = \dfrac{mv^2}{2} - mg\dfrac{a_y\tau^2}{2}\). Откуда находим \(Q = FL\).

    Способ 2. В НеИСО к моменту полного разворота цепочки точка приложения силы \(F\) переместится на \(2L\), а значит её работа равна \(2FL\). Изменение кинетической энергии цепочки равно \(\dfrac{mv'^2}{2} = FL\). С учётом этого находим выделившееся количество теплоты \(Q = 2FL - FL = FL\) (как разность работы силы \(F\) и изменения кинетической энергии).

    5. Способ 1. После распрямления цепочки выделим нижнюю половину нити (ниже точки \(B\)) массой \(m/2\) и запишем для этого участка теорему о движении центра масс в проекции на ось \(Oy\): \(\dfrac{m}{2}a_y = \dfrac{m}{2}g - T\). В итоге получаем \[T = \frac{F}{2}.\]

    Способ 2. Рассматривая движение в НеИСО, на нижнюю половину цепочки после её разворота будет действовать сила \(T = \dfrac{m}{2}a' = \dfrac{F}{2}\).

    Вся олимпиада на сайте

  33. Груз на движущемся клине с трением

    МОШ · 2016/17 · заключительный этап · 11 кл. · №2 · смежная тема
    7/10

    С наклонной поверхности клина с углом \(\alpha\) при основании, движущегося по горизонтальному столу с постоянной скоростью вдоль направления \(AB\), сталкивают небольшой груз массой \(m\) так, что в начальный момент его скорость \(V\) относительно клина направлена перпендикулярно \(AB\) вдоль наклонной поверхности (см. рисунок). Коэффициент трения между поверхностью клина и грузом равен \(\mu\) (\(\mu > \operatorname{tg}\alpha\)). Чему будет равна работа силы трения, с которой клин действует на груз, к моменту, когда проскальзывание груза по поверхности клина прекратится? По какой траектории движется груз, пока проскальзывание еще не прекратилось? Ответ на оба вопроса нужно дать относительно системы отсчета, связанной со столом. Влиянием воздуха можно пренебречь.

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Относительно клина груз скользит по линии падения воды вдоль наклонной плоскости с постоянным ускорением, а клин движется равномерно. Что тогда за кривая получается при сложении таких движений?

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(A_{\text{тр}} = -\dfrac{\mu m V^2}{2(\mu - \operatorname{tg}\alpha)}\); относительно стола груз движется по параболе (пока не остановится относительно клина).

    Вся олимпиада на сайте

  34. Тело на шероховатой поверхности

    Курчатов · 2012/13 · отборочный этап · 11 кл. · №1 · смежная тема
    1/10

    Сила трения больше тянущей силы, результирующая тормозит тело; путь до остановки из кинематики или теоремы об изменении энергии.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  35. После перерезания

    ВсОШ · 2025/26 · школьный этап · 10 кл. · №2 · смежная тема
    2/10

    Брусок на шероховатом столе тянет груз через блок; ускорение и натяжение до перерезания нити, затем после перерезания брусок тормозит силой трения — путь, время, работа и мощность силы трения, импульс силы натяжения (варианты 1–5).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  36. Два тела на наклонной плоскости

    ВсОШ · 2025/26 · школьный этап · 11 кл. · №1 · смежная тема
    3/10

    Брусок на шероховатой наклонной плоскости связан нитью через блок с висящим грузом: ускорение и натяжение, путь, скорость, кинетическая энергия, работа трения и мощность натяжения; обратные варианты — найти угол или массу груза по измеренному ускорению (варианты 1–5).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  37. Брусок на тележке

    ИОШ · 2016/17 · отборочный этап · 9-10 кл. · №6 · смежная тема
    4/10

    Брусок кладут на передний край движущейся тележки; до выравнивания скоростей трение разгоняет брусок и тормозит тележку, длина тележки должна быть не меньше относительного пути (импульс и энергия или кинематика).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  38. Брусок на шероховатой плоскости

    Курчатов · 2017/18 · отборочный этап · 10 кл. · №2 · смежная тема
    4/10

    Брусок толкают вдоль плоскости с μ>tg α; тепло трения — работа силы трения на пути до остановки, которую считают из энергии (вниз или вверх по склону, варианты 1–2).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  39. Коробка на наклонной плоскости с двумя коэффициентами трения

    Физтех · 2020/21 · заключительный этап · 10 кл. · билеты 3–4 · №2 · смежная тема
    4/10

    Коробка съезжает по наклонной плоскости: на верхнем участке трение мало (разгон), на нижнем велико (торможение до остановки); найти время торможения и высоту старта или максимальную скорость и пройденный путь — через ускорения или работу трения. (варианты 3–4)

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  40. Санки на склоне с двумя коэффициентами трения

    Физтех · 2025/26 · отборочный этап · 10 кл. · №т1-6 · смежная тема
    4/10

    Санки останавливаются у подножия: из энергетического баланса находится высота перехода между участками, скорость максимальна на границе.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  41. «Абсолютно упругий удар»

    ВсОШ · 2009/10 · региональный этап · 10 кл. · теория · №1 · смежная тема
    5/10

    Доска с кубиком упруго отскакивает от стенки и меняет скорость на противоположную, кубик скользит по доске с трением; из условия, что проскальзывание не больше L, найти максимальную скорость.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  42. Ускорение доски

    ВсОШ · 2014/15 · региональный этап · 11 кл. · теория · №1 · смежная тема
    5/10

    Брусок скользит по доске под постоянной силой по гладкому полу; тепло Q равно работе трения на относительном пути L, из этого и из динамики брусков найти ускорение доски.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  43. Упругий удар брусков и трение

    Курчатов · 2016/17 · заключительный этап · 10 кл. · №3 · смежная тема
    5/10

    Суммарный импульс брусков нулевой, поэтому при упругом ударе они просто меняют направление скорости; расстояния отъезда находят из работы трения и складывают.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  44. Пуля пробивает шар на колонне

    Курчатов · 2022/23 · заключительный этап · 9 кл. · №1 · смежная тема
    5/10

    Закон сохранения импульса при пролёте пули сквозь шар связывает скорости; оба тела затем летят горизонтально с высоты колонны одно и то же время, что даёт дальность пули; потеря кинетической энергии — по разности.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  45. Доска въезжает на шероховатую поверхность

    Физтех · 2023/24 · отборочный этап · 10 кл. · №т1-5 · смежная тема
    5/10

    Однородная доска соскальзывает с гладкой части наклонной плоскости на шероховатую; сила трения растёт пропорционально въехавшей части, скорость находят суммированием V·ΔV по пути. (варианты с разными числами)

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  46. Доска и брусок под нарастающей силой

    Физтех · 2025/26 · отборочный этап · 11 кл. · №т1-1 · смежная тема
    5/10

    Сила F=kt нарастает, брусок начинает скользить при предельном трении; из закона относительного движения и неизвестного k находится выделившаяся теплота к моменту схода с доски.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  47. Песок из бункера на платформу

    Физтех · 2025/26 · отборочный этап · 11 кл. · №т3-3 · смежная тема
    5/10

    Песок падает с высоты и неупруго ложится на движущуюся платформу, тепловоз поддерживает скорость; теплота равна потере механической энергии песка в системе платформы.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  48. Пуля и дощечка

    ИОШ · 2025/26 · заключительный этап · 9 кл. · №1 · смежная тема
    5/10

    Пуля пробивает закреплённую дощечку при v0, подвешенную — при 1,1·v0; работа сопротивления одна и та же, а в подвешенном случае часть энергии уходит в движение дощечки (импульс и энергия при равных скоростях на пределе) — найти отношение масс.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  49. Нажали и отпустили

    ВсОШ · 2014/15 · заключительный этап · 9 кл. · теория · №2 · смежная тема
    6/10

    Брусок на пружине на тележке, связанной со стеной, толкают постоянной силой, потом отпускают; он возвращается в исходную точку с трением; найти силу давления тележки на стержень в момент отпускания и максимальную — из работы силы трения и энергии пружины.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  50. Монеты, падающие в воду

    Курчатов · 2015/16 · заключительный этап · 9 кл. · №5 · смежная тема
    6/10

    Теплота идёт от потенциальной энергии монеты с учётом вытеснения воды; максимальная температура — когда вся теплота греет только последнюю монету; затем тепловой баланс для числа монет.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  51. Монеты, падающие в воду

    Курчатов · 2015/16 · заключительный этап · 10 кл. · №3 · смежная тема
    6/10

    Теплота идёт от потенциальной энергии монеты с учётом вытеснения воды; максимальная температура — когда вся теплота греет только последнюю монету; затем тепловой баланс для числа монет (тот же сюжет, что 9.5).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  52. Бильярд на льду

    ВсОШ · 2019/20 · региональный этап · 10 кл. · теория · №2 · смежная тема
    6/10

    Частично упругий косой удар двух шайб на шероховатой поверхности: по картинке траекторий выбрать возможную траекторию налетающей, сравнить пути до остановки и найти долю энергии, перешедшую в тепло.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  53. Цепочка тел на льду

    Росатом · 2021/22 · заключительный этап · 11 кл. · площадка 1 · №1 · смежная тема
    6/10

    Упругие столкновения одинаковых тел обмениваются скоростями, а на каждом пролёте l тело теряет энергию на трение; по убыли квадрата скорости найти, сколько тел сдвинется.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  54. Вращающаяся гильза

    ВсОШ · 2022/23 · региональный этап · 11 кл. · теория · №1 · смежная тема
    6/10

    Вращающаяся гильза влетает в отверстие, трение скольжения направлено против полной скорости точки контакта; продольная и вращательная части раскладываются, по графику силы для невращающейся находят минимальную скорость, угловую скорость внутри и время.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  55. Жидкое равновесие

    Курчатов · 2024/25 · отборочный этап · 9 кл. · №2 · смежная тема
    6/10

    В U-образной трубке с водой в одном колене два поршня с пружиной; на верхний ставят груз. Теплота при установлении равновесия — разность энергий начального и конечного положений (длина пружины сокращается) (варианты 1–2).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  56. Жидкое равновесие

    Курчатов · 2024/25 · отборочный этап · 10 кл. · №3 · смежная тема
    6/10

    В U-образной трубке с водой в одном колене два поршня с пружиной; на верхний ставят груз. Теплота при установлении равновесия — разность энергий начального и конечного положений (длина пружины сокращается) (варианты 1–2).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  57. Доска сталкивается с бруском, на котором лежит другой

    Физтех · 2025/26 · отборочный этап · 11 кл. · №т3-4 · смежная тема
    6/10

    Абсолютно неупругий удар доски о нижний брусок, затем скольжение другого бруска по доске: трение между брусками и доской определяет относительное перемещение до выравнивания скоростей.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  58. Тело на доске с трением

    Росатом · 2025/26 · отборочный этап · 11 кл. · Москва · №4 · смежная тема
    6/10

    Доске 4m сообщают скорость v; тело m лежит на конце; через ускорения тела и доски и условие смещения на l найти минимальную скорость (энергия или относительное движение).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  59. Транспортёр на боку

    ВсОШ · 2015/16 · региональный этап · 10 кл. · теория · №5 · смежная тема
    7/10

    Брусок толкается движущимся поперёк лентой транспортёра по шероховатому полу; сила трения о ленту направлена по относительной скорости, найти установившееся смещение бруска и работу транспортёра при заданных коэффициентах трения.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  60. Сферическая горка

    ВсОШ · 2015/16 · заключительный этап · 10 кл. · теория · №1 · смежная тема
    7/10

    Шайба скользит по четверти сферы с коэффициентом трения µ = tg α; из уравнений движения вдоль и поперёк траектории найти время спуска, работу трения и условие безотрывного движения по v0.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  61. Цилиндр на наклонной плоскости

    ВсОШ · 2017/18 · заключительный этап · 11 кл. · теория · №1 · смежная тема
    7/10

    Вращающаяся труба отпущена на гладком участке наклонной плоскости и попадает на шероховатый: проскальзывание, затем качение, подъём обратно; подбирается угол наклона для минимального времени возврата и условие на начальную угловую скорость.

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  62. Тело на доске

    Росатом · 2022/23 · отборочный этап · 11 кл. · очный комплект 1 · №6 · смежная тема
    7/10

    Тело и доска с одинаковыми скоростями, трение между ними μ и с полом 2μ; найти перемещение тела относительно доски (варианты 1–2).

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

  63. Обруч: проскальзывание и качение

    Физтех · 2023/24 · отборочный этап · 11 кл. · №т2-3 · смежная тема
    7/10

    Из первого опыта находят начальную скорость и μ, во втором обруч стоит вертикально и скользит; сумма V+ωR сохраняется, по моменту перехода в качение находят число оборотов. (варианты с разными числами)

    Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.

наверх