Балка на прокатном стане

Баланс энергии: потенциальная энергия балки идёт и на раскрутку новых цилиндров, и на тепло при проскальзывании, а тепла выделяется столько же, сколько кинетической энергии приобретает цилиндр.

\(v=\sqrt{gl\,\dfrac{M}{m}\sin\alpha}\).

10-1. Поскольку цилиндры шероховатые, то при движении балки раскручиваются цилиндры, находящейся под ней, на что расходуется потенциальная энергия опускающейся балки. В идеализированном варианте после прохождения балки будут вращаться все цилиндры прокатного стана. Это обстоятельство и приводит к тому, что в конце концов движение станет равномерным.

Для решения задачи воспользуемся энергетическими соображениями. Пусть искомая скорость \(v\). За время \(\tau\) (\(\tau \gg \frac{l}{v}\)) балка пройдет по стану путь \(S = v\tau\), при этом освободится потенциальная энергия

\[E^{\text{п}} = Mgv\tau\sin\alpha.\tag{1}\]

При этом раскручивается до прекращения проскальзывания \(N = \frac{v\tau}{l}\) новых цилиндров, кинетическая энергия которых

\[E^{k} = N\frac{1}{2}mv^2.\tag{2}\]

При записи (1) учтено, что цилиндры тонкостенные и все точки цилиндров имеют одинаковую скорость. Для корректного решения задачи необходимо учесть неизбежное выделение теплоты при проскальзывании и трении балки о цилиндры. Для вычисления этой энергии заметим, что (2) аналогично выражению для кинетической энергии материальной точки, поэтому рассмотрим шайбу массы \(m\) аккуратно, (т. е. без начальной скорости) положенную на шероховатую горизонтальную ленту транспортера, движущуюся со скоростью \(v\). Под действием трения скольжения шайба начнет набирать скорость с ускорением \(a = \mu g\), а через время \(\tau^* = \frac{v}{\mu g}\) трение скольжения исчезнет.

При этом выделиться теплота:

\[Q = \sum_i F_{\text{тр}} v_i \Delta t_i = F_{\text{тр}} \sum_i v_i \Delta t_i = \{v = at\} = F_{\text{тр}} \frac{v}{2} \tau^*.\tag{3}\]

С другой стороны, согласно основному закону динамики в импульсной форме:

\[mv = F_{\text{тр}} \tau^*.\tag{4}\]

Из (3)-(4) легко находим:

\[Q = \frac{1}{2} mv^2.\]

Таким образом мы показали, что при разгоне трением скольжения, энергетические (тепловые) потери равны кинетической энергии тела в конечном состоянии, т. е. пренебрегать ими нельзя. Возвращаясь к цилиндрам, заметим, что все вышесказанное будет справедливо, если балка достаточно длинна, т. е. иначе \(\tau^* < \frac{L}{v}\) (чтобы проскальзывание успело исчезнуть). На рисунке раскрученные цилиндры заштрихованы, а раскручивающиеся — нет.

С учетом изложенного баланс энергий запишется в виде

\[E^{\text{п}} = E^k + Q = 2E^k = mv^2 N.\tag{5}\]

Далее

\[Mgv \tau \sin \alpha = \frac{v \tau}{l} mv^2.\tag{6}\]

Откуда

\[v^2 = gl \frac{M}{m} \sin \alpha \Rightarrow v = \sqrt{gl \frac{M}{m} \sin \alpha}.\tag{7}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.