Шарики в коробке

Центр масс шариков в среднем не смещается, значит, средняя сила давления на дно уравновешивает суммарную силу тяжести шариков.

\(\bar p=\dfrac{Nmg}{a^2}\approx 49\text{ Па}\).

10-2. Будем считать, что хаотически прыгающие шарики движутся вертикально. Столкновения можно не принимать во внимание, так как они не изменяют распределение скоростей шариков. Рассмотрим систему за время \(\tau\), равное времени полета некоторого фиксированного шарика

\[\tau = 2 \sqrt{\frac{2h}{g}} = 0{,}639\text{ с}.\tag{1}\]

Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме, учитывая, что за время \(\tau\) соударения с дном испытывают все шарики системы. Импульс шарика у дна:

\[P = m \sqrt{2gh}\tag{2}\]

Изменение импульса системы за время \(\tau\)

\[\Delta P = N \cdot 2P = 2Nm \sqrt{2gh}\tag{3}\]

Тогда искомое среднее давление определим из равенства

\[P_{\text{ср}} a^2 \tau = \Delta P \Rightarrow P_{\text{ср}} = \frac{\Delta P}{a^2 \tau} = \frac{Nmg}{a^2} = 49\,\text{Па}\tag{4}\]

Приведем более изящный способ решения этой задачи. Так как в среднем положение центра масс всех шариков не изменяется, то сумма внешних сил, действующих на все шарики равна нулю. Такими внешними силами являются сила тяжести \(Nmg\) и сила реакции дна сосуда, которая по третьему закону Ньютона равна силе давления (естественно, средней) шариков на дно \(P_{\text{ср}}a^2\), приравнивая эти выражения сразу получим окончательный результат (4).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.