Пробки в трубке

Сила трения растёт пропорционально длине вошедшей части пробки, поэтому работа трения при вталкивании пробки равна площади под линейным графиком; всё выделившееся тепло делится между трубкой и пробками по теплоёмкостям.

\(\Delta T^*\approx 4{,}0\text{ К}\) (по официальному решению).

10-3. “Изюминка” задачи заключается в том, что по мере вхождения (или выхода) плотно пригнанной пробки сила трения не остается постоянной (вспомните свои “экспериментальные” усилия).

Будем считать, что сила трения, действующая на пробку, прямо пропорциональна длине части пробке в бутылке:

\[F_{mp} = \alpha x.\tag{1}\]

Тогда работа этой силы на том же расстоянии

\[A_{mp} = \sum_i F_{mp}^2 \Delta x_i = \frac{\alpha x^2}{2}.\tag{2}\]

В случае с одной пробкой

\[A _ { \text{тр} } = Q = \left( c _ { 1 } + c _ { 2 } \right) \Delta T = \frac { \alpha \, l ^ { 2 } } { 2 } ,\tag{3}\]

где \(l\) — длина пробки.

При добавлении еще одной пробки следует помнить, что работа в этом случае (первая пробка уже вся в бутылке, т. е. \(F _ { \text{тр} } = \alpha \, x = const\))

\[A _ { \text{тр} } ^ { * } = \frac { \alpha \, l ^ { 2 } } { 2 } + \alpha \cdot l \cdot l = 3 \alpha \frac { l ^ { 2 } } { 2 } ,\tag{4}\]

\[A _ { \text{тр} } ^ { * } = c _ { 2 } \left( \Delta T + \Delta T ^ { * } \right) + \left( c _ { 2 } + c _ { 1 } \right) \Delta T ^ { * } = 3 \left( c _ { 1 } + c _ { 2 } \right) \Delta T ,\]

где \(\Delta T ^ { * }\) — искомое повышение температуры. Из (4) находим

\[\Delta T ^ { * } = \Delta T \frac{3 c_1 + 2 c_2}{2 c_2 + c_1} = \Delta T \frac{3 \xi + 2}{\xi + 2} = 4{,}0\text{ К},\]

где \(c_1\) — теплоёмкость трубки, \(c_2\) — пробки, \(\xi = c_1/c_2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.