Лёд и горячая вода

Обозначим через \(m_{\text{л}}\) начальную массу льда в сосуде, через \(t\) — установившуюся в системе температуру, которая по условию выше \(0\ {}^\circ\)C. В процессе установления равновесия масса воды \(m_{\text{в}}\) отдала количество теплоты \(c_{\text{в}}m_{\text{в}}(t_{\text{в}} - t)\). Масса льда \(m_{\text{л}}\) получила количество теплоты \(c_{\text{л}}m_{\text{л}}|t_{\text{л}}|\) на этапе нагревания до \(0\ {}^\circ\)C, затем количество теплоты \(\lambda m_{\text{л}}\) при плавлении и, наконец, количество теплоты \(c_{\text{в}}m_{\text{л}}t\) при нагревании образовавшейся из льда воды до установившейся температуры \(t\). Поскольку теплоемкостью сосуда и теплообменом с окружающей средой можно пренебречь, то из уравнения теплового баланса получаем: \[c_{\text{в}}m_{\text{в}}(t_{\text{в}} - t) = c_{\text{л}}m_{\text{л}}|t_{\text{л}}| + \lambda m_{\text{л}} + c_{\text{в}}m_{\text{л}}t.\] Определяемая из данного соотношения конечная температура \(t\) положительна, если \(c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}} > c_{\text{л}}m_{\text{л}}|t_{\text{л}}| + \lambda m_{\text{л}}\). Таким образом, масса льда \(m_{\text{л}}\) лежит в интервале \(0 \leqslant m_{\text{л}} < \dfrac{c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}}}{c_{\text{л}}|t_{\text{л}}| + \lambda}\). Конечный объём содержимого сосуда связан с массой льда соотношением \(V = \dfrac{m_{\text{в}} + m_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}}\). Отсюда находим ответ: \(\dfrac{m_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}} \leqslant V < \dfrac{m_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}}\left(1 + \dfrac{c_{\text{в}}t_{\text{в}}}{c_{\text{л}}|t_{\text{л}}| + \lambda}\right)\). Подстановка числовых данных в полученную формулу даёт: \(0{,}4\text{ л} \leqslant V < 0{,}67\text{ л}\).