Противостояния Марса

Найдём отношение периодов обращения Марса и Земли \(T_{\text{М}}\) и \(T_{\text{З}}\). При движении планеты массой \(m\) вокруг Солнца массой \(M\) по круговой орбите радиусом \(r\) с угловой скоростью \(\omega\) на планету со стороны Солнца действует сила тяготения \(\dfrac{GmM}{r^2}\). В соответствии со вторым законом Ньютона, она равна произведению массы планеты \(m\) на её центростремительное ускорение \(\omega^2r\), то есть \(\dfrac{GmM}{r^2} = m\omega^2r\). Отсюда \(\omega = \sqrt{GM/r^3}\) и, следовательно, \(\omega \sim r^{-3/2}\). Так как \(T = 2\pi/\omega\), то \(T \sim r^{3/2}\); поэтому отношение периодов обращения Марса и Земли составляет \(\dfrac{T_{\text{М}}}{T_{\text{З}}} = \left(\dfrac{r_{\text{М}}}{r_{\text{З}}}\right)^{3/2} = n^{3/2} \approx 1{,}89\).

Заметим, что последняя формула выражает собой третий закон Кеплера (мы его вывели, исходя из предположения, что планеты движутся по круговым орбитам, хотя этот закон справедлив и в более общем случае эллиптических орбит).

За промежуток времени \(T\) от одного противостояния до другого Марс совершает \(k\) оборотов, а Земля \(k + 1\) оборот (\(k\) не обязательно целое!). Этот промежуток времени выражается через периоды обращения Земли и Марса вокруг Солнца \(T_{\text{З}}\) и \(T_{\text{М}}\) следующим образом: \(T = (k + 1)T_{\text{З}} = kT_{\text{М}}\). Отсюда находим \(k = T_{\text{З}}/(T_{\text{М}} - T_{\text{З}})\) и \[T = \dfrac{T_{\text{З}}T_{\text{М}}}{T_{\text{М}} - T_{\text{З}}} = \dfrac{n^{3/2}}{n^{3/2} - 1}T_{\text{З}} \approx 2{,}12\,T_{\text{З}}.\] Таким образом, противостояния Марса повторяются приблизительно через 2,12 земных лет.