Скорости вершин куба

Если скорости точек А и Б одинаковы, то в системе отсчёта, движущейся вместе с точкой Б, точка А неподвижна: на что это указывает для вращения кубика?

\(v_{\max}=\sqrt{13}\,v\approx3{,}6\,v\) (вторая возможность, когда точка В движется вниз, даёт \(\sqrt5\,v\)).

Что происходит. Кубик — твёрдое тело, его точки движутся согласованно: скорость любой точки равна скорости точки Б плюс скорость, которую даёт вращение кубика вокруг Б. Условие про равные скорости точек А и Б сразу говорит, где ось вращения. Дальше остаётся узнать, как вращение разгоняет остальные вершины, и выбрать наибольшую скорость.

Обозначения. Ось \(x\) — вдоль ребра БВ (от Б к В), ось \(y\) — вдоль ребра БА, ось \(z\) — вверх (рис.). Ребро кубика — \(a\). Верхние вершины над Б и над В обозначим Б\('\) и В\('\).

1. Ось вращения. Перейдём в систему отсчёта, которая поступательно движется со скоростью точки Б. В ней кубик только вращается вокруг точки Б, а скорость точки А равна \(\vec v_А-\vec v_Б=0\). Значит, точка А неподвижна, и ось вращения проходит через неё и через Б, то есть вдоль ребра АБ. Так как скорости А и Б одинаковы, движение кубика в этот момент — движение в вертикальной плоскости \(xz\), перпендикулярной ребру АБ: поступательная скорость \(\vec v_Б\) вниз плюс вращение вокруг оси \(y\).

2. Скорость точки В. Точка В отстоит от оси на расстояние \(a\) и в этой системе отсчёта движется по окружности вокруг неё, значит, её скорость направлена перпендикулярно ребру БВ, то есть вертикально. Обозначим \(u\) вертикальную проекцию (вверх) этой скорости. Тогда в неподвижной системе проекция скорости точки В на ось \(z\) равна \(-v+u\), а по условию её модуль \(2v\): \[-v+u=-2v\ \ \Rightarrow\ \ u=-v,\qquad\text{или}\qquad -v+u=2v\ \ \Rightarrow\ \ u=3v .\] Обратите внимание: условие даёт только модуль скорости точки В, а не направление, поэтому возможны два случая: В движется вниз или вверх. Считать надо оба: спрашивают, какую скорость точки могут иметь, то есть наибольшую из возможных.

3. Скорости остальных точек. Вращение вокруг оси \(y\) — это поворот в плоскости \(xz\): скорость точки перпендикулярна её отрезку до оси и пропорциональна расстоянию до оси. Если точка с координатами \((a,0)\) (это В) получает скорость \(u\) вверх, то точка \((0,a)\) (это Б\('\)) получает по модулю такую же скорость в направлении \(-x\), а точка \((a,a)\) (это В\('\)) — сумму обеих. В проекциях на оси \(x\) и \(z\) (с учётом \(\vec v_Б\) вниз): \[\vec v_{Б'}=(-u,\,-v),\qquad \vec v_{В'}=(-u,\ u-v),\qquad \vec v_{В}=(0,\ u-v).\] Остальные вершины повторяют эти значения, так как вдоль оси \(y\) скорость не меняется: А — как Б, Г — как В, верхние вершины над А и Г — как Б\('\) и В\('\).

Случай \(u=-v\) (В движется вниз): \(v_{Б'}=\sqrt{v^2+v^2}=\sqrt2\,v\), \(v_{В'}=\sqrt{v^2+(2v)^2}=\sqrt5\,v\).

Случай \(u=3v\) (В движется вверх): \(v_{Б'}=\sqrt{(3v)^2+v^2}=\sqrt{10}\,v\), \(v_{В'}=\sqrt{(3v)^2+(2v)^2}=\sqrt{13}\,v\).

4. Почему достаточно вершин. Скорость точки кубика \(\vec v=\vec v_Б+\vec\omega\times\vec r\) линейно зависит от её положения \(\vec r\), а модуль такой линейной величины на кубе наибольший в вершине (на ребре и грани она не превосходит значений на их концах). Поэтому наибольшую скорость ищем среди вершин.

Соберём ответ. Наибольшая скорость у вершины В\('\), которая лежит над точкой В, в случае, когда В движется вверх: \[v_{\max}=\sqrt{(3v)^2+(2v)^2}=\sqrt{13}\,v\approx3{,}6\,v .\] Если В движется вниз, наибольшая скорость — \(\sqrt5\,v\approx2{,}2\,v\).

Проверка. Твёрдость тела: проекции скоростей концов каждого ребра на это ребро равны. В случае \(u=3v\) у ребра В\('\)В: \(+2v\) и \(+2v\) на ось \(z\); у ребра Б\('\)В\('\): \(-3v\) и \(-3v\) на ось \(x\); у ребра Б\('\)Б: \(-v\) и \(-v\) на ось \(z\). Расстояния между вершинами не меняются. Предельный случай \(u=0\) — кубик летит поступательно, все точки имеют скорость \(v\); условие \(2v\) у точки В как раз требует вращения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.