Лампочки и резистор

Закона Ома для лампочки нет, зато есть график \(I(U)\). В последовательной цепи ток общий, в параллельной — общее напряжение: по этим правилам и читайте график.

1) \(I\approx0{,}27\) А;  2) \(R\approx21\) Ом (в пределах 19–25 Ом по точности графика);  3) да, перегорит лампочка, включённая последовательно с парой.

Что происходит. Лампочка — нелинейный элемент: её сопротивление меняется с напряжением, поэтому вместо закона Ома используем график \(I(U)\). Правила соединения остаются прежними: последовательно — общий ток, напряжения складываются; параллельно — общее напряжение, токи складываются. Читаем по графику (по клеткам, точность чтения \(\approx0{,}005\) А):

Пункт 1. Две лампочки последовательно. Ток через обе лампочки один, а по графику одному и тому же току отвечает одно и то же напряжение (кривая идёт вверх, каждому току соответствует единственное напряжение). Поэтому напряжения на лампочках одинаковы и в сумме дают \(5\) В: по \(2{,}5\) В. По графику (точка 1 на рисунке) \[I=I(2{,}5\text{ В})\approx0{,}27\text{ А}.\]

Пункт 2. Резистор параллельно одной лампочке. Лампочка 2 работает при \(3{,}5\) В, поэтому через неё течёт \(I(3{,}5)\approx0{,}29\) А — и это общий ток источника. На параллельном участке (лампочка 1 и резистор) напряжение \[U_1=5-3{,}5=1{,}5\text{ В}.\] Лампочка 1 при \(1{,}5\) В пропускает \(I(1{,}5)\approx0{,}22\) А (точка 3 на рисунке). Остальной ток уходит в резистор: \[I_R=0{,}29-0{,}22=0{,}07\text{ А},\qquad R=\frac{U_1}{I_R}=\frac{1{,}5\text{ В}}{0{,}07\text{ А}}\approx21\text{ Ом}.\] Обратите внимание: сопротивление находится как деление на разность двух близких токов, поэтому оно очень чувствительно к чтению графика: ошибка в \(0{,}005\) А в каждом токе даёт \(R\) от \(19\) до \(25\) Ом. Значащих цифр здесь две.

Пункт 3. Резистор заменён лампочкой. Теперь параллельно стоят две одинаковые лампочки: у них общее напряжение \(U_{\text{п}}\) и равные токи, поэтому ток пары равен \(2I(U_{\text{п}})\). Этот же ток течёт через лампочку, включённую последовательно с парой, под напряжением \(5-U_{\text{п}}\). Условие равенства токов: \[I(5-U_{\text{п}})=2\,I(U_{\text{п}}).\] Лампочка выдерживает не больше \(4\) В, поэтому \(5-U_{\text{п}}\le4\) В, то есть \(U_{\text{п}}\ge1\) В. Сравним токи на границе, при \(U_{\text{п}}=1\) В: ток пары \(2I(1)=2\cdot0{,}18=0{,}36\) А, а ток отдельной лампочки при \(4\) В всего \(0{,}30\) А. При росте \(U_{\text{п}}\) ток пары \(2I(U_{\text{п}})\) растёт, а ток \(I(5-U_{\text{п}})\) последовательной лампочки уменьшается — равенство ни при каком допустимом \(U_{\text{п}}\) не выполняется (рис.). Значит, последовательной лампочке при токе пары \(\approx0{,}30\) А придётся нести напряжение выше \(4\) В: каждая лампочка пары при этом получила бы \(\approx0{,}15\) А, то есть \(U_{\text{п}}\approx0{,}8\) В, а на последовательной оказалось бы \(\approx4{,}2\) В. Это выше предела \(4\) В, поэтому она перегорает.

Соберём ответ. В общем виде: \(I=I(U_0/2)\); \(R=\dfrac{U_0-U_{\text{раб}}}{I(U_{\text{раб}})-I(U_0-U_{\text{раб}})}\). Числами: \(I\approx0{,}27\) А; \(R\approx21\) Ом; при замене резистора лампочкой перегорит лампочка, включённая последовательно с парой (в последний момент по цепи идёт \(\approx0{,}3\) А, цепь после этого размыкается).

Проверка. Пункт 1: две одинаковые лампочки делят \(5\) В поровну, \(2{,}5<3{,}5\) В — рабочее напряжение не превышено. Пункт 2: сопротивление лампочки при \(1{,}5\) В равно \(1{,}5/0{,}22\approx6{,}8\) Ом, у резистора \(21\) Ом — он больше, значит, ток через него меньше, чем через лампочку (\(0{,}07<0{,}22\) А). Пункт 3, второй способ: пара при \(4\) В на соседней лампочке (то есть при \(1\) В на ней самой) пропускает \(0{,}36\) А, лампочке же при \(4\) В позволено только \(0{,}30\) А — токи не сходятся в сторону перегрузки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.