Кубик в тележке

Горизонтальных внешних сил на систему «кубик + тележка» нет, поэтому конечная скорость общая и находится из импульса. Упругие удары энергию не отнимают: вся потеря кинетической энергии — работа силы трения на пути кубика относительно тележки.

\(x=2L-\dfrac{Mv_0^2}{2\mu g(M+m)}\approx0{,}0075\) м \(\approx0{,}8\) см от левого края (путь кубика относительно тележки \(s\approx0{,}39\) м; при \(g=10\) м/с\(^2\) получается \(\approx1{,}5\) см).

Что происходит. Кубик скользит по дну вправо, трение разгоняет тележку и тормозит кубик. Дойдя до правой стенки, кубик упруго отскакивает и скользит влево, пока скорости кубика и тележки не сравняются. Главная идея — не следить за каждым ударом, а использовать два закона: сохранение импульса даёт общую конечную скорость, а баланс энергии — полный путь кубика относительно тележки. Дальше остаётся отложить этот путь вдоль дна с отражением от стенки.

Обозначения. \(V\) — общая скорость кубика и тележки в конце; \(s\) — полный путь кубика относительно тележки (длина пути вдоль дна, считая оба направления); \(x\) — конечная координата кубика от левого края тележки, кубик считаем точкой. Ось \(x\) направлена вправо; \(g=9{,}8\) м/с\(^2\).

1. Общая конечная скорость. Закон сохранения импульса системы «кубик + тележка» в проекции на горизонтальную ось: стол гладкий, поэтому внешних горизонтальных сил нет, а сила трения и силы ударов внутренние. Удары о стенки очень короткие, трение за время удара даёт пренебрежимо малый импульс, поэтому закон верен и через удары: \[mv_0=(m+M)V\quad\Rightarrow\quad V=\frac{mv_0}{m+M}=\frac{0{,}3}{1{,}3}\approx0{,}23\text{ м/с}.\]

2. Потеря энергии и путь скольжения. Удар абсолютно упругий: механическая энергия системы в ударе сохраняется. Убывает она только из-за трения скольжения. Сила трения равна \(\mu mg\) при любом направлении скольжения, а выделяющееся тепло равно силе трения, умноженной на путь кубика относительно тележки (именно по этому пути трутся поверхности). Закон сохранения энергии для всего процесса, от толчка до прекращения проскальзывания: \[\frac{mv_0^2}{2}-\frac{(m+M)V^2}{2}=\mu mg\,s .\] Подставляя \(V\) из шага 1, получаем \(\dfrac{mv_0^2}{2}\cdot\dfrac{M}{m+M}=\mu mg\,s\), откуда \[s=\frac{Mv_0^2}{2\mu g(M+m)}=\frac{1\cdot1}{2\cdot0{,}1\cdot9{,}8\cdot1{,}3}\approx0{,}39\text{ м}.\]

3. Куда попадает кубик. Длина дна \(L=0{,}2\) м, а \(L<s<2L\): кубик доходит до правой стенки (пройдя \(L\)), отскакивает и проходит влево ещё \(s-L\approx0{,}19\) м, не достигнув левой стенки (для неё нужно \(2L=0{,}4\) м). Относительная скорость при упругом ударе только меняет знак, поэтому сила трения после удара по-прежнему тормозит относительное движение, и формула для \(s\) справедлива. Конечная координата \[x=L-(s-L)=2L-s=0{,}4-0{,}3925\approx0{,}0075\text{ м}\approx0{,}8\text{ см}.\]

Обратите внимание. Ответ мал и получается вычитанием близких чисел, поэтому он чувствителен к \(g\): при \(g=10\) м/с\(^2\) получается \(s\approx0{,}385\) м и \(x\approx1{,}5\) см. Кубик остаётся вблизи левого края с любым разумным \(g\) (около 1 см).

Ответ. \(x=2L-\dfrac{Mv_0^2}{2\mu g(M+m)}\approx0{,}8\) см от левого края тележки.

Проверка. Размерность: \([v^2/(\mu g)]=\text{м}^2/\text{с}^2\cdot\text{с}^2/\text{м}=\text{м}\). Второй способ — кинематика относительного движения. Ускорение кубика \(a_1=\mu g\) (назад), ускорение тележки \(a_2=\mu mg/M\) (вперёд), относительное замедление \(a=\mu g(1+m/M)=1{,}27\) м/с\(^2\). Относительная скорость падает от \(v_0\) до нуля на пути \(v_0^2/(2a)=1/(2\cdot1{,}274)=0{,}392\) м — тот же \(s\). Предельный случай \(M\to\infty\) (тележка неподвижна): \(s=v_0^2/(2\mu g)\) — путь торможения кубика по неподвижному полу, как и должно быть.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.