Кипятильник в кастрюле

Вода перестаёт нагреваться, когда мощность нагревателя равна мощности теплопотерь. Значит, из двух опытов известны две точки зависимости мощности потерь от разности температур с комнатой; нулевую разность добавляет физический смысл. Дальше восстановите зависимость и просуммируйте малые приращения температуры.

Время нагрева \(\tau\approx4{,}3\cdot10^2\) с \(\approx7\) мин; предельная температура \(t_{\max}\approx86\,^\circ\)C (оценка; при другой разумной интерполяции потерь \(\approx80\)–\(88\,^\circ\)C).

Что происходит. Вода получает от нагревателя мощность \(P\) и теряет в комнату мощность \(W\), зависящую от того, насколько вода горячее воздуха. Пока \(P>W\), вода греется; когда \(W\) вырастает до \(P\), нагрев прекращается. Опыты с мощностями 50 и 100 Вт — это замеры потерь в состоянии равновесия. Идея: по этим замерам и по очевидному условию «при \(t=t_0\) потерь нет» построить зависимость \(W\) от разности температур, а затем найти время нагрева суммированием малых шагов по температуре.

Обозначения. \(\Delta=t-t_0\) — разность температур воды и комнаты; \(W(\Delta)\) — мощность теплопотерь; \(C=Mc=0{,}3\cdot4200=1260\) Дж/К — теплоёмкость воды (теплоёмкостью кастрюли, термометра и кипятильника пренебрегаем, воду считаем однородной по температуре).

1. Что дают опыты. Закон сохранения энергии для воды за малое время \(d\tau\): нагреватель отдаёт \(P\,d\tau\), потери уносят \(W\,d\tau\), температура меняется на \(d\Delta\): \[C\,d\Delta=\bigl(P-W(\Delta)\bigr)d\tau .\] Предельная температура — та, при которой \(d\Delta=0\), то есть \(W=P\). Поэтому \(W(30\text{ К})=50\) Вт и \(W(45\text{ К})=100\) Вт, и ещё \(W(0)=0\). Потери зависят от \(\Delta\) нелинейно: отношение \(W/\Delta\) равно \(1{,}67\) Вт/К в первом опыте и \(2{,}2\) Вт/К во втором, поэтому закон охлаждения Ньютона (потери \(\propto\Delta\)) здесь не годится.

2. Зависимость потерь. Простейшая гладкая зависимость, проходящая через три известные точки \((0;0)\), \((30;50)\), \((45;100)\), — парабола \(W=a\Delta+b\Delta^2\). Подстановка двух точек: \[30a+900b=50,\qquad 45a+2025b=100\quad\Rightarrow\quad a=\frac59\ \text{Вт/К}\approx0{,}556,\quad b=\frac1{27}\ \text{Вт/К}^2 .\] Кривая показана на рисунке; при \(P_3=200\) Вт она пересекает горизонталь \(W=200\) Вт справа от опытных точек, то есть мы экстраполируем.

3. Предельная температура при 200 Вт. Условие \(W(\Delta)=P_3\): \[\frac{\Delta^2}{27}+\frac59\Delta-200=0\quad\Rightarrow\quad \Delta^2+15\Delta-5400=0\quad\Rightarrow\quad\Delta_1=\frac{-15+\sqrt{225+21600}}2\approx66{,}4\ \text{К}.\] Предельная температура \(t_{\max}=t_0+\Delta_1\approx86\,^\circ\)C. Это меньше \(100\,^\circ\)C, так что кипение не наступает, а оценка остаётся в разумных границах.

4. Время нагрева. Из шага 1 для малого \(d\Delta\) имеем \(d\tau=C\,d\Delta/\bigl(P_3-W(\Delta)\bigr)\). Суммируем от \(\Delta=0\) до \(\Delta=50\) К (от \(20\,^\circ\)C до \(70\,^\circ\)C). Знаменатель раскладывается: \(P_3-W=\dfrac1{27}(\Delta_1-\Delta)(\Delta+\Delta_2)\), где \(\Delta_2=\dfrac{15+\sqrt{21825}}{2}\approx81{,}4\) К. Тогда \[\tau=27C\int_0^{50}\frac{d\Delta}{(\Delta_1-\Delta)(\Delta+\Delta_2)} =\frac{27C}{\Delta_1+\Delta_2}\ln\frac{(\Delta+\Delta_2)/(\Delta_1-\Delta)\big|_{50}}{(\Delta+\Delta_2)/(\Delta_1-\Delta)\big|_{0}} =\frac{27\cdot1260}{147{,}7}\ln\frac{131{,}4/16{,}4}{81{,}4/66{,}4}\approx231\cdot1{,}88\approx4{,}3\cdot10^2\text{ с}.\] Температура сначала растёт быстро, потом всё медленнее, приближаясь к \(86\,^\circ\)C.

Обратите внимание. Задача требует модели потерь, которой в условии нет: ответ получен для параболы \(W(\Delta)\) через три точки, и это оценка. Линейная зависимость противоречила бы данным двух опытов (50 Вт при 30 К, но 100 Вт при 45 К).

Ответ. \(\tau\approx4{,}3\cdot10^2\) с \(\approx7\) мин; \(t_{\max}\approx86\,^\circ\)C.

Проверка. Размерность: \([C\,\Delta/P]=\text{Дж/К}\cdot\text{К}/\text{Вт}=\text{с}\). Грубая оценка без модели: средняя мощность потерь на интервале \(0\ldots50\) К порядка \(45\) Вт (от \(0\) до \(\approx120\) Вт), на нагрев остаётся в среднем \(\approx155\) Вт, и \(\tau\approx1260\cdot50/155\approx410\) с — совпадает по порядку (неравномерность нагрева даёт остальное). Второй вариант интерполяции — степенная зависимость \(W\propto\Delta^{1{,}71}\) через те же точки — даёт \(\tau\approx432\) с и \(t_{\max}\approx87{,}5\,^\circ\)C, то есть ответ мало зависит от выбранной гладкой модели.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.